Конечная математика Примеры

$\log_{b} (x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (4) + \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (125) - \log_{b} (10)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{b} (4)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2}{3} \log_{b} (125) - \log_{b} (10)$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\log_{b} (125)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} - \log_{b} (10)$

Этап 2

Каждый член в $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} - \log_{b} (10)$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} - \log_{b} (10)$ на $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $6$ влево от $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot 6 + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 (3)) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (4)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (4) \cdot 3 + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\log_{b} (4)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot 6 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot (3 (2)) - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + \frac{2 \log_{b} (125)}{3} \cdot (3 \cdot 2) - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 2 \log_{b} (125) \cdot 2 - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - \log_{b} (10) \cdot 6$

Этап 2.3.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $6 \log_{b} (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $3 \log_{b} (4) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $3 \log_{b} (4)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4^{3}) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Этап 4.1.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + 4 \log_{b} (125) - 6 \log_{b} (10)$

Этап 4.1.1.3

Упростим $4 \log_{b} (125)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (125^{4}) - 6 \log_{b} (10)$

Этап 4.1.1.4

Возведем $125$ в степень $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (244140625) - 6 \log_{b} (10)$

Этап 4.1.1.5

Упростим $- 6 \log_{b} (10)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (244140625) - \log_{b} (10^{6})$

Этап 4.1.1.6

Возведем $10$ в степень $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64) + \log_{b} (244140625) - \log_{b} (1000000)$

Этап 4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64 \cdot 244140625) - \log_{b} (1000000)$

Этап 4.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 244140625}{1000000})$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $64$ и $1000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $64$ из $64 \cdot 244140625$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (244140625)}{1000000})$

Этап 4.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $64$ из $1000000$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 244140625}{64 \cdot 15625})$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 244140625}{64 \cdot 15625})$

Этап 4.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{244140625}{15625})$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $244140625$ и $15625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $15625$ из $244140625$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625 \cdot 15625}{15625})$

Этап 4.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Вынесем множитель $15625$ из $15625$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625 \cdot 15625}{15625 (1)})$

Этап 4.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625 \cdot 15625}{15625 \cdot 1})$

Этап 4.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{15625}{1})$

Этап 4.1.5.2.4

Разделим $15625$ на $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (15625)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{6} = 15625$

Этап 6

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{15625}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{15625}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $15625$ в виде $5^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{5^{6}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 7

Переменная $b$ исключена.

Все вещественные числа

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$