Конечная математика Примеры

${(\frac{4 x}{5} - \frac{5}{2 x})}^{9}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{9} \frac{9!}{(9 - k)! k!} \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{9 - k} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{9!}{(9 - 0)! 0!} \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{9 - 0} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{0} + \frac{9!}{(9 - 1)! 1!} \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{9 - 1} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{1} + \dots + \frac{9!}{(9 - 9)! 9!} \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{9 - 9} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{9}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{9} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{0} + 9 \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{8} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(\frac{4 x}{5})}^{0} \cdot {(- \frac{5}{2 x})}^{9}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$\frac{262144 x^{9}}{1953125} - \frac{294912 x^{7}}{78125} + \frac{147456 x^{5}}{3125} - \frac{43008 x^{3}}{125} + \frac{8064 x}{5} - \frac{5040}{x} + \frac{10500}{x^{3}} - \frac{28125}{2 x^{5}} + \frac{703125}{64 x^{7}} - \frac{1953125}{512 x^{9}}$