Конечная математика Примеры

$f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 1

Запишем $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ в виде уравнения.

$y = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$

Step 2

Поменяем переменные местами.

$x = (9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$

Step 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$ .

$(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Решим относительно $\sqrt{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Развернем $(9 \sqrt{y} - 5) (7 \sqrt{y} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y} + 3) - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y} + 3) = x$

Применим свойство дистрибутивности.

$9 \sqrt{y} (7 \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cdot 7 \sqrt{y} \sqrt{y} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Умножим $\sqrt{y}$ на $\sqrt{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 (\sqrt{y} \sqrt{y}) + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Умножим $\sqrt{y}$ на $\sqrt{y}$ .

$9 \cdot 7 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Умножим $9$ на $7$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 9 \sqrt{y} \cdot 3 - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Умножим $3$ на $9$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 5 (7 \sqrt{y}) - 5 \cdot 3 = x$

Умножим $7$ на $- 5$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 5 \cdot 3 = x$

Умножим $- 5$ на $3$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} + 27 \sqrt{y} - 35 \sqrt{y} - 15 = x$

Вычтем $35 \sqrt{y}$ из $27 \sqrt{y}$ .

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 = x$

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$63 {\sqrt{y}}^{2} - 8 \sqrt{y} - 15 - x = 0$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 63$ , $b = - 8$ и $c = - 15 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $\sqrt{y}$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (63 \cdot (- 15 - x))}}{2 \cdot 63}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 4$ на $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 252$ на $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 1$ на $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Добавим $64$ и $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $3844 + 252 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Перепишем $4 (961 + 63 x)$ в виде $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Перепишем $961$ в виде $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Возведем $31$ в степень $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Умножим $2$ на $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 4$ на $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 252$ на $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 1$ на $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Добавим $64$ и $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $3844 + 252 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Перепишем $4 (961 + 63 x)$ в виде $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Перепишем $961$ в виде $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Возведем $31$ в степень $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Умножим $2$ на $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 63 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 4$ на $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot (- 15 - x)}}{2 \cdot 63}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 252 \cdot - 15 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 252$ на $- 15$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 - 252 (- x)}}{2 \cdot 63}$

Умножим $- 1$ на $- 252$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 3780 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Добавим $64$ и $3780$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{3844 + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $3844 + 252 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $3844$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 252 x}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $252 x$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961) + 4 (63 x)}}{2 \cdot 63}$

Вынесем множитель $4$ из $4 (961) + 4 (63 x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{4 (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Перепишем $4 (961 + 63 x)$ в виде $2^{2} (31^{2} + 63 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (961 + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Перепишем $961$ в виде $31^{2}$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (31^{2} + 63 x)}}{2 \cdot 63}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31^{2} + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Возведем $31$ в степень $2$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{2 \cdot 63}$

Умножим $2$ на $63$ .

$\sqrt{y} = \frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{961 + 63 x}}{126}$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 \pm \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$\sqrt{y} = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$\sqrt{y} = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

Упростим.

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = {\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63}}^{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

$y = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$

$y = \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$

Step 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ обратной к $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ и $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ и сравним их.

Найдем множество значений $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{961}{63}, - 15]$

Найдем область определения $\frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{961 + 63 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$961 + 63 x \geq 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $961$ из обеих частей неравенства.

$63 x \geq - 961$

Разделим каждый член $63 x \geq - 961$ на $63$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $63 x \geq - 961$ на $63$ .

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $63$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{63 x}{63} \geq \frac{- 961}{63}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 961}{63}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{961}{63}$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{961}{63}, \infty)$

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{961 + 63 x}}{63}, \frac{4 - \sqrt{961 + 63 x}}{63^{2}}$ не является функцией, обратной к $f (x) = (9 \sqrt{x} - 5) (7 \sqrt{x} + 3)$ .

Обратная не существует

Step 6