Конечная математика Примеры

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Этап 1

Вычтем $\cos (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Добавим $79 \sin^{2} (x)$ и $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3

Разложим $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $81 \sin^{2} (x)$ в виде ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Этап 3.3

Изменим порядок $- 1^{2}$ и ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Этап 3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 9 \sin (x)$ и $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $9 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $9 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $9 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 \sin (x) = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $9 \sin (x) = - 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $9 \sin (x) = - 1$ на $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

Этап 5.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

Этап 5.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

Этап 5.2.6.2

Результирующий угол $3.25293366$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ на полный оборот.

$x = 3.25293366$

Этап 5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Добавим $2 π$ к $- 0.11134101$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.11134101 + 2 π$

Этап 5.2.8.2

Вычтем $0.11134101$ из $2 π$ .

$6.17184429$

Этап 5.2.8.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.17184429$

Этап 5.2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $9 \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $9 \sin (x) - 1$ к $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $9 \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 \sin (x) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $9 \sin (x) = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $9 \sin (x) = 1$ на $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

Этап 6.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Этап 6.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

Этап 6.2.6.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Этап 6.2.6.3

Вычтем $0.11134101$ из $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $3.25293366 + 2 π n$ и $0.11134101 + 2 π n$ в $0.11134101 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.2

Объединим $6.17184429 + 2 π n$ и $3.03025163 + 2 π n$ в $3.03025163 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ , для любого целого $n$