Конечная математика Примеры

$6 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 1$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$6 {(u)}^{2} - 4 u = 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$6 u^{2} - 4 u - 1 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 1)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24 \cdot - 1}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.1.3

Добавим $16$ и $24$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.1.4

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{12}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{6}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Этап 7

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}, \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Этап 8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$

$\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$

Этап 9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{2 + \sqrt{10}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2 + \sqrt{10}}{6})$ .

$x = 1.03601404$

Этап 9.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Этап 9.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 1.03601404$

Этап 9.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 1.03601404$

Этап 9.4.3

Вычтем $1.03601404$ из $3.14159265$ .

$x = 2.1055786$

Этап 9.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 9.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{2 - \sqrt{10}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2 - \sqrt{10}}{6})$ .

$x = - 0.19494537$

Этап 10.3

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.19494537$

Этап 10.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.19494537$

Этап 10.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.19494537$ .

$x = 3.33653802$

Этап 10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.19494537$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.19494537 + 2 π$

Этап 10.6.2

Вычтем $0.19494537$ из $2 π$ .

$6.08823993$

Этап 10.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 6.08823993$

Этап 10.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Перечислим все решения.

$x = 1.03601404 + 2 π n, 2.1055786 + 2 π n, 3.33653802 + 2 π n, 6.08823993 + 2 π n$ , для любого целого $n$