Конечная математика Примеры

$x - \sqrt{x + 1} = 1$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{x + 1} = 1 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{x + 1})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Умножим ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 1)}^{1} = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$x + 1 = {(1 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(1 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$x + 1 = (1 - x) (1 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 1 (1 - x) - x (1 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x + 1 = 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$x + 1 = 1 - x - x \cdot 1 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x + 1 = 1 - x - x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 1 = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x + 1 = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 1 = 1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 = 1 - x - x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x + 1 = 1 - x - x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x + 1 = 1 - 2 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$1 - 2 x + x^{2} = x + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$1 - 2 x + x^{2} - x = 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$1 + x^{2} - 3 x = 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$1 + x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $1 + x^{2} - 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $x^{2} - 3 x$ и $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - \sqrt{x + 1} = 1$ истинным.

$x = 3$