Конечная математика Примеры

$a (n) = \frac{n + 1}{n + 3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, n + 3$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$1, n + 3$

Этап 1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$n + 3$

Этап 2

Каждый член в $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ умножим на $n + 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ на $n + 3$ .

$a n (n + 3) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a n \cdot n + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.2.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $n$ .

$a (n \cdot n) + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.2.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$a n^{2} + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.2.3

Перенесем $3$ влево от $a n$ .

$a n^{2} + 3 \cdot (a n) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $n + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$a n^{2} + 3 a n = n + 1$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $n$ из обеих частей уравнения.

$a n^{2} + 3 a n - n = 1$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$a n^{2} + 3 a n - n - 1 = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = a$ , $b = 3 a - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $n$ .

$\frac{- (3 a - 1) \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot - 1)}}{2 a}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$n = \frac{- (3 a) + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.4

Перепишем ${(3 a - 1)}^{2}$ в виде $(3 a - 1) (3 a - 1)$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{(3 a - 1) (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.5

Развернем $(3 a - 1) (3 a - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a - 1) - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1.2.1

Перенесем $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.6.2

Вычтем $3 a$ из $- 3 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Этап 3.5.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 + 4 a}}{2 a}$

Этап 3.5.8

Добавим $- 6 a$ и $4 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

Этап 3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$