Конечная математика Примеры

$\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (r (r - 2)) = 3$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (r \cdot r + r \cdot - 2) = 3$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $r$ на $r$ .

$\log_{2} (r^{2} + r \cdot - 2) = 3$

Этап 1.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $r$ .

$\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (r^{2} - 2 r) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = r^{2} - 2 r$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $r^{2} - 2 r = 2^{3}$ .

$r^{2} - 2 r = 2^{3}$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$r^{2} - 2 r = 8$

Этап 3.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Этап 3.4

Разложим $r^{2} - 2 r - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $r - 4$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $r - 4$ к $0$ .

$r - 4 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$r = 4$

Этап 3.7

Приравняем $r + 2$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $r + 2$ к $0$ .

$r + 2 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$r = - 2$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r - 4) (r + 2) = 0$ верно.

$r = 4, - 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (r) + \log_{2} (r - 2) = 3$ истинным.

$r = 4$