Конечная математика Примеры

$\frac{w - 5}{w - 4} = \frac{w - 4}{w - 6} + 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$w - 4, w - 6, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $w - 4$ является само значение $w - 4$ .

$(w - 4) = w - 4$

$(w - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $w - 6$ является само значение $w - 6$ .

$(w - 6) = w - 6$

$(w - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $w - 4, w - 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(w - 4) (w - 6)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{w - 5}{w - 4} = \frac{w - 4}{w - 6} + 1$ умножим на $(w - 4) (w - 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{w - 5}{w - 4} = \frac{w - 4}{w - 6} + 1$ на $(w - 4) (w - 6)$ .

$\frac{w - 5}{w - 4} ((w - 4) (w - 6)) = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $w - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{w - 5}{w - 4} ((w - 4) (w - 6)) = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(w - 5) (w - 6) = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.2

Развернем $(w - 5) (w - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$w (w - 6) - 5 (w - 6) = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$w \cdot w + w \cdot - 6 - 5 (w - 6) = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$w \cdot w + w \cdot - 6 - 5 w - 5 \cdot - 6 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $w$ на $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 6 - 5 w - 5 \cdot - 6 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $w$ .

$w^{2} - 6 \cdot w - 5 w - 5 \cdot - 6 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 6$ .

$w^{2} - 6 w - 5 w + 30 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $5 w$ из $- 6 w$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 4) (w - 6)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $w - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $w - 6$ из $(w - 4) (w - 6)$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 6) (w - 4)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$w^{2} - 11 w + 30 = \frac{w - 4}{w - 6} ((w - 6) (w - 4)) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$w^{2} - 11 w + 30 = (w - 4) (w - 4) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.2

Возведем $w - 4$ в степень $1$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{1} (w - 4) + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.3

Возведем $w - 4$ в степень $1$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{1} {(w - 4)}^{1} + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{1 + 1} + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + 1 ((w - 4) (w - 6))$

Этап 2.3.1.6

Умножим $(w - 4) (w - 6)$ на $1$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + (w - 4) (w - 6)$

Этап 2.3.1.7

Развернем $(w - 4) (w - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w (w - 6) - 4 (w - 6)$

Этап 2.3.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w \cdot w + w \cdot - 6 - 4 (w - 6)$

Этап 2.3.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w \cdot w + w \cdot - 6 - 4 w - 4 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.8.1.1

Умножим $w$ на $w$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w^{2} + w \cdot - 6 - 4 w - 4 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.8.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $w$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w^{2} - 6 \cdot w - 4 w - 4 \cdot - 6$

Этап 2.3.1.8.1.3

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w^{2} - 6 w - 4 w + 24$

Этап 2.3.1.8.2

Вычтем $4 w$ из $- 6 w$ .

$w^{2} - 11 w + 30 = {(w - 4)}^{2} + w^{2} - 10 w + 24$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $w$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

${(w - 4)}^{2} + w^{2} - 10 w + 24 = w^{2} - 11 w + 30$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $w$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $w^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(w - 4)}^{2} + w^{2} - 10 w + 24 - w^{2} = - 11 w + 30$

Этап 3.2.2

Добавим $11 w$ к обеим частям уравнения.

${(w - 4)}^{2} + w^{2} - 10 w + 24 - w^{2} + 11 w = 30$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в ${(w - 4)}^{2} + w^{2} - 10 w + 24 - w^{2} + 11 w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $w^{2}$ из $w^{2}$ .

${(w - 4)}^{2} - 10 w + 24 + 0 + 11 w = 30$

Этап 3.2.3.2

Добавим ${(w - 4)}^{2} - 10 w + 24$ и $0$ .

${(w - 4)}^{2} - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перепишем ${(w - 4)}^{2}$ в виде $(w - 4) (w - 4)$ .

$(w - 4) (w - 4) - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.2

Развернем $(w - 4) (w - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$w (w - 4) - 4 (w - 4) - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$w \cdot w + w \cdot - 4 - 4 (w - 4) - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$w \cdot w + w \cdot - 4 - 4 w - 4 \cdot - 4 - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1.1

Умножим $w$ на $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 4 - 4 w - 4 \cdot - 4 - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $w$ .

$w^{2} - 4 \cdot w - 4 w - 4 \cdot - 4 - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$w^{2} - 4 w - 4 w + 16 - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.4.3.2

Вычтем $4 w$ из $- 4 w$ .

$w^{2} - 8 w + 16 - 10 w + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.5

Вычтем $10 w$ из $- 8 w$ .

$w^{2} - 18 w + 16 + 24 + 11 w = 30$

Этап 3.2.6

Добавим $- 18 w$ и $11 w$ .

$w^{2} - 7 w + 16 + 24 = 30$

Этап 3.2.7

Добавим $16$ и $24$ .

$w^{2} - 7 w + 40 = 30$

Этап 3.3

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$w^{2} - 7 w + 40 - 30 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $30$ из $40$ .

$w^{2} - 7 w + 10 = 0$

Этап 3.5

Разложим $w^{2} - 7 w + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(w - 5) (w - 2) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 5 = 0$

$w - 2 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $w - 5$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $w - 5$ к $0$ .

$w - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$w = 5$

Этап 3.8

Приравняем $w - 2$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $w - 2$ к $0$ .

$w - 2 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$w = 2$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(w - 5) (w - 2) = 0$ верно.

$w = 5, 2$