Конечная математика Примеры

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(v - 1) (v + 7), 1, v + 7$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $v - 1$ является само значение $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $v + 7$ является само значение $v + 7$ .

$(v + 7) = v + 7$

$(v + 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $v - 1, v + 7, v + 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(v - 1) (v + 7)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$ умножим на $(v - 1) (v + 7)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} = - 3 + \frac{2}{v + 7}$ на $(v - 1) (v + 7)$ .

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} ((v - 1) (v + 7)) = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $(v - 1) (v + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{(v - 1) (v + 7)} ((v - 1) (v + 7)) = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$7 = - 3 ((v - 1) (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Развернем $(v - 1) (v + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = - 3 (v (v + 7) - 1 (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = - 3 (v \cdot v + v \cdot 7 - 1 (v + 7)) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = - 3 (v \cdot v + v \cdot 7 - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Умножим $v$ на $v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + v \cdot 7 - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.2.1.2

Перенесем $7$ влево от $v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 \cdot v - 1 v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.2.1.3

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 v - v - 1 \cdot 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 7 v - v - 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.2.2

Вычтем $v$ из $7 v$ .

$7 = - 3 (v^{2} + 6 v - 7) + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = - 3 v^{2} - 3 (6 v) - 3 \cdot - 7 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Умножим $6$ на $- 3$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v - 3 \cdot - 7 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $- 3$ на $- 7$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v - 1) (v + 7))$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $v + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $v + 7$ из $(v - 1) (v + 7)$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v + 7) (v - 1))$

Этап 2.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + \frac{2}{v + 7} ((v + 7) (v - 1))$

Этап 2.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 (v - 1)$

Этап 2.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 v + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 = - 3 v^{2} - 18 v + 21 + 2 v - 2$

Этап 2.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $- 18 v$ и $2 v$ .

$7 = - 3 v^{2} - 16 v + 21 - 2$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $2$ из $21$ .

$7 = - 3 v^{2} - 16 v + 19$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 v^{2} - 16 v + 19 = 7$ .

$- 3 v^{2} - 16 v + 19 = 7$

Этап 3.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 3 v^{2} - 16 v + 19 - 7 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $7$ из $19$ .

$- 3 v^{2} - 16 v + 12 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 v^{2} - 16 v + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 v^{2}$ .

$- (3 v^{2}) - 16 v + 12 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 16 v$ .

$- (3 v^{2}) - (16 v) + 12 = 0$

Этап 3.4.1.3

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (3 v^{2}) - (16 v) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 v^{2}) - (16 v)$ .

$- (3 v^{2} + 16 v) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 v^{2} + 16 v) - 1 (- 12)$ .

$- (3 v^{2} + 16 v - 12) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ , а сумма — $b = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $16$ из $16 v$ .

$- (3 v^{2} + 16 (v) - 12) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.2

Запишем $16$ как $- 2$ плюс $18$

$- (3 v^{2} + (- 2 + 18) v - 12) = 0$

Этап 3.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 v^{2} - 2 v + 18 v - 12) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 v^{2} - 2 v) + 18 v - 12) = 0$

Этап 3.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (v (3 v - 2) + 6 (3 v - 2)) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 v - 2$ .

$- ((3 v - 2) (v + 6)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 v - 2) (v + 6) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 v - 2 = 0$

$v + 6 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $3 v - 2$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $3 v - 2$ к $0$ .

$3 v - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $3 v - 2 = 0$ относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 v = 2$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $3 v = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 v = 2$ на $3$ .

$\frac{3 v}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 v}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{2}{3}$

Этап 3.7

Приравняем $v + 6$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $v + 6$ к $0$ .

$v + 6 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$v = - 6$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 v - 2) (v + 6) = 0$ верно.

$v = \frac{2}{3}, - 6$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$v = \frac{2}{3}, - 6$

Десятичная форма:

$v = 0.\overline{6}, - 6$