Конечная математика Примеры

${(72 x^{2} + x)}^{2} - 74 (72 x^{2} + x) + 73 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 72 x^{2} + x$ . Подставим $u$ вместо $72 x^{2} + x$ для всех.

$u^{2} - 74 u + 73 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 74 u + 73$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $73$ , а сумма — $- 74$ .

$- 73, - 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 73) (u - 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $72 x^{2} + x$ .

$(72 x^{2} + x - 73) (72 x^{2} + x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$72 x^{2} + x - 73 = 0$

$72 x^{2} + x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $72 x^{2} + x - 73$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $72 x^{2} + x - 73$ к $0$ .

$72 x^{2} + x - 73 = 0$

Этап 3.2

Решим $72 x^{2} + x - 73 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 72 \cdot - 73 = - 5256$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$72 x^{2} + 1 x - 73 = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 72$ плюс $73$

$72 x^{2} + (- 72 + 73) x - 73 = 0$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 72 x + 73 x - 73 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(72 x^{2} - 72 x) + 73 x - 73 = 0$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$72 x (x - 1) + 73 (x - 1) = 0$

Этап 3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (72 x + 73) = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$72 x + 73 = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.2.4

Приравняем $72 x + 73$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $72 x + 73$ к $0$ .

$72 x + 73 = 0$

Этап 3.2.4.2

Решим $72 x + 73 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вычтем $73$ из обеих частей уравнения.

$72 x = - 73$

Этап 3.2.4.2.2

Разделим каждый член $72 x = - 73$ на $72$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $72 x = - 73$ на $72$ .

$\frac{72 x}{72} = \frac{- 73}{72}$

Этап 3.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{72 x}{72} = \frac{- 73}{72}$

Этап 3.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 73}{72}$

Этап 3.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{73}{72}$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (72 x + 73) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{73}{72}$

Этап 4

Приравняем $72 x^{2} + x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $72 x^{2} + x - 1$ к $0$ .

$72 x^{2} + x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $72 x^{2} + x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 72 \cdot - 1 = - 72$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$72 x^{2} + 1 x - 1 = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 8$ плюс $9$

$72 x^{2} + (- 8 + 9) x - 1 = 0$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$72 x^{2} - 8 x + 9 x - 1 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(72 x^{2} - 8 x) + 9 x - 1 = 0$

Этап 4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$8 x (9 x - 1) + 1 (9 x - 1) = 0$

Этап 4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x - 1$ .

$(9 x - 1) (8 x + 1) = 0$

Этап 4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$8 x + 1 = 0$

Этап 4.2.3

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем $9 x - 1$ к $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим $9 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 x = 1$

Этап 4.2.3.2.2

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Этап 4.2.4

Приравняем $8 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Приравняем $8 x + 1$ к $0$ .

$8 x + 1 = 0$

Этап 4.2.4.2

Решим $8 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 x = - 1$

Этап 4.2.4.2.2

Разделим каждый член $8 x = - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $8 x = - 1$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{8}$

Этап 4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 x - 1) (8 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(72 x^{2} + x - 73) (72 x^{2} + x - 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{73}{72}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1, - \frac{73}{72}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$

Десятичная форма:

$x = 1, - 1.013\overline{8}, 0.\overline{1}, - 0.125$

Форма смешанных чисел:

$x = 1, - 1 \frac{1}{72}, \frac{1}{9}, - \frac{1}{8}$