Конечная математика Примеры

$(12 x - 1) \cdot (6 x - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1

Упростим $(12 x - 1) \cdot (6 x - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(12 x - 1) (6 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1)) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 x (6 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1)) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 x (6 x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(12 \cdot 6 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(12 \cdot 6 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(12 \cdot 6 x^{2} + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.1.3

Умножим $12$ на $6$ .

$(72 x^{2} + 12 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $12$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 6 x - 1 \cdot - 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(72 x^{2} - 12 x - 6 x + 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.2.2

Вычтем $6 x$ из $- 12 x$ .

$(72 x^{2} - 18 x + 1) \cdot (4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.3

Развернем $(72 x^{2} - 18 x + 1) (4 x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(72 x^{2} (4 x) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(72 \cdot 4 x^{2} x + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(72 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(72 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(72 \cdot 4 x^{1 + 2} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(72 \cdot 4 x^{3} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.3

Умножим $72$ на $4$ .

$(288 x^{3} + 72 x^{2} \cdot - 1 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $72$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 x \cdot x - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Перенесем $x$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 (x \cdot x) - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 18 \cdot 4 x^{2} - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.7

Умножим $- 18$ на $4$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.8

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.9

Умножим $4 x$ на $1$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 4 x + 1 \cdot - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.1.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(288 x^{3} - 72 x^{2} - 72 x^{2} + 18 x + 4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $72 x^{2}$ из $- 72 x^{2}$ .

$(288 x^{3} - 144 x^{2} + 18 x + 4 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.4.2.2

Добавим $18 x$ и $4 x$ .

$(288 x^{3} - 144 x^{2} + 22 x - 1) \cdot (3 x - 1) = 5$

Этап 1.5

Развернем $(288 x^{3} - 144 x^{2} + 22 x - 1) (3 x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$288 x^{3} (3 x) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$288 \cdot 3 x^{3} x + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$288 \cdot 3 (x \cdot x^{3}) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$288 \cdot 3 (x^{1} x^{3}) + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$288 \cdot 3 x^{1 + 3} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$288 \cdot 3 x^{4} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.3

Умножим $288$ на $3$ .

$864 x^{4} + 288 x^{3} \cdot - 1 - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $288$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 x^{2} (3 x) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{2} x - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.1

Перенесем $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{1 + 2} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 144 \cdot 3 x^{3} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.7

Умножим $- 144$ на $3$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} - 144 x^{2} \cdot - 1 + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.8

Умножим $- 1$ на $- 144$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 x (3 x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 x \cdot x + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.10.1

Перенесем $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 (x \cdot x) + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 22 \cdot 3 x^{2} + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.11

Умножим $22$ на $3$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} + 22 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.12

Умножим $- 1$ на $22$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.13

Умножим $3$ на $- 1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x - 1 \cdot - 1 = 5$

Этап 1.6.1.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$864 x^{4} - 288 x^{3} - 432 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Этап 1.6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вычтем $432 x^{3}$ из $- 288 x^{3}$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 144 x^{2} + 66 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Этап 1.6.2.2

Добавим $144 x^{2}$ и $66 x^{2}$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 22 x - 3 x + 1 = 5$

Этап 1.6.2.3

Вычтем $3 x$ из $- 22 x$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x + 1 = 5$

Этап 2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x + 1 - 5 = 0$

Этап 3

Вычтем $5$ из $1$ .

$864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 864, \pm 2, \pm 432, \pm 3, \pm 288, \pm 4, \pm 216, \pm 6, \pm 144, \pm 8, \pm 108, \pm 9, \pm 96, \pm 12, \pm 72, \pm 16, \pm 54, \pm 18, \pm 48, \pm 24, \pm 36, \pm 27, \pm 32$

Этап 4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0011574, \pm 0.5, \pm 0.0023\overline{148}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.00347\overline{2}, \pm 0.25, \pm 0.004\overline{629}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.0069\overline{4}, \pm 0.125, \pm 0.00\overline{925}, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.01041\overline{6}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.013\overline{8}, \pm 0.0625, \pm 0.0\overline{185}, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.0208\overline{3}, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.03125, \pm 4, \pm 2, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{4}, \pm 0.\overline{074}, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{148}$

Этап 4.1.3

Подставим $- 0.08\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.08\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Подставим $- 0.08\overline{3}$ в многочлен.

$864 {(- 0.08\overline{3})}^{4} - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.2

Возведем $- 0.08\overline{3}$ в степень $4$ .

$864 \cdot 0.00004822 - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.3

Умножим $864$ на $0.00004822$ .

$0.04166666 - 720 {(- 0.08\overline{3})}^{3} + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.4

Возведем $- 0.08\overline{3}$ в степень $3$ .

$0.04166666 - 720 \cdot - 0.0005787 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.5

Умножим $- 720$ на $- 0.0005787$ .

$0.04166666 + 0.41666666 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.6

Добавим $0.04166666$ и $0.41666666$ .

$0.45833333 + 210 {(- 0.08\overline{3})}^{2} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.7

Возведем $- 0.08\overline{3}$ в степень $2$ .

$0.45833333 + 210 \cdot 0.0069\overline{4} - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.8

Умножим $210$ на $0.0069\overline{4}$ .

$0.45833333 + 1.45833333 - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.9

Добавим $0.45833333$ и $1.45833333$ .

$1.91666666 - 25 \cdot - 0.08\overline{3} - 4$

Этап 4.1.3.10

Умножим $- 25$ на $- 0.08\overline{3}$ .

$1.91666666 + 2.08333333 - 4$

Этап 4.1.3.11

Добавим $1.91666666$ и $2.08333333$ .

$4 - 4$

Этап 4.1.3.12

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 0.08\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $12 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4}{12 x + 1}$

Этап 4.1.5

Разделим $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ на $12 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

Этап 4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $864 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $12 x$ .

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

Этап 4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

Этап 4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $864 x^{4} + 72 x^{3}$ .

				$72 x^{3}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$

Этап 4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$72 x^{3}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$

Этап 4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$72 x^{3}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

Этап 4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 792 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

Этап 4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$	+	$210 x^{2}$
					-	$792 x^{3}$	-	$66 x^{2}$

Этап 4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 792 x^{3} - 66 x^{2}$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

Этап 4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

Этап 4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

Этап 4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $276 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

Этап 4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

Этап 4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $276 x^{2} + 23 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

Этап 4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

Этап 4.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

Этап 4.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 48 x$ на член с максимальной степенью в делителе $12 x$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

Этап 4.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

				$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$12 x$	+	$1$		$864 x^{4}$	-	$720 x^{3}$	+	$210 x^{2}$	-	$25 x$	-	$4$
			-	$864 x^{4}$	-	$72 x^{3}$
					-	$792 x^{3}$	+	$210 x^{2}$
					+	$792 x^{3}$	+	$66 x^{2}$
							+	$276 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$276 x^{2}$	-	$23 x$
									-	$48 x$	-	$4$
									-	$48 x$	-	$4$

Этап 4.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 48 x - 4$ .

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

$48 x$

$4$

Этап 4.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

$12 x$

$1$

$864 x^{4}$

$720 x^{3}$

$210 x^{2}$

$25 x$

$4$

$864 x^{4}$

$72 x^{3}$

$792 x^{3}$

$210 x^{2}$

$792 x^{3}$

$66 x^{2}$

$276 x^{2}$

$25 x$

$276 x^{2}$

$23 x$

$48 x$

$4$

$48 x$

$4$

$0$

Этап 4.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$

Этап 4.1.6

Запишем $864 x^{4} - 720 x^{3} + 210 x^{2} - 25 x - 4$ в виде набора множителей.

$(12 x + 1) (72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Этап 4.2

Разложим $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Этап 4.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.013\overline{8}, \pm 0.5, \pm 0.02\overline{7}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.041\overline{6}, \pm 0.25, \pm 0.0\overline{5}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.125, \pm 0.\overline{1}, \pm 4, \pm 2, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{4}$

Этап 4.2.1.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$72 \cdot {0.5}^{3} - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$72 \cdot 0.125 - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.3

Умножим $72$ на $0.125$ .

$9 - 66 \cdot {0.5}^{2} + 23 \cdot 0.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$9 - 66 \cdot 0.25 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.5

Умножим $- 66$ на $0.25$ .

$9 - 16.5 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.6

Вычтем $16.5$ из $9$ .

$- 7.5 + 23 \cdot 0.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.7

Умножим $23$ на $0.5$ .

$- 7.5 + 11.5 - 4$

Этап 4.2.1.3.8

Добавим $- 7.5$ и $11.5$ .

$4 - 4$

Этап 4.2.1.3.9

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 4.2.1.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4}{2 x - 1}$

Этап 4.2.1.5

Разделим $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

$2 x$

$1$

$72 x^{3}$

$66 x^{2}$

$23 x$

$4$

Этап 4.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $72 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$36 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			+	$72 x^{3}$	-	$36 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $72 x^{3} - 36 x^{2}$ .

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$36 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 4.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 30 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$

Этап 4.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$30 x^{2}$	+	$15 x$

Этап 4.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 30 x^{2} + 15 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$

Этап 4.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$

Этап 4.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Этап 4.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$

Этап 4.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	-	$4$

Этап 4.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x - 4$ .

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$

Этап 4.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$36 x^{2}$	-	$15 x$	+	$4$
$2 x$	-	$1$		$72 x^{3}$	-	$66 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
			-	$72 x^{3}$	+	$36 x^{2}$
					-	$30 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$30 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	+	$4$
										$0$

Этап 4.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$36 x^{2} - 15 x + 4$

Этап 4.2.1.6

Запишем $72 x^{3} - 66 x^{2} + 23 x - 4$ в виде набора множителей.

$(12 x + 1) ((2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(12 x + 1) (2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$12 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$

Этап 6

Приравняем $12 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $12 x + 1$ к $0$ .

$12 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $12 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$12 x = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $12 x = - 1$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $12 x = - 1$ на $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 1}{12}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 1}{12}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{12}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{12}$

Этап 7

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $36 x^{2} - 15 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $36 x^{2} - 15 x + 4$ к $0$ .

$36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$

Этап 8.2

Решим $36 x^{2} - 15 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.2.2

Подставим значения $a = 36$ , $b = - 15$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 4)}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 36 \cdot 4}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 36 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $36$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 144 \cdot 4}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Умножим $- 144$ на $4$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 576}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.3

Вычтем $576$ из $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 351}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.4

Перепишем $- 351$ в виде $- 1 (351)$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1 \cdot 351}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (351)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{351}$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{351}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{351}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.7

Перепишем $351$ в виде $3^{2} \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $351$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{9 (39)}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{15 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{15 \pm i \cdot (3 \sqrt{39})}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{2 \cdot 36}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2$ на $36$ .

$x = \frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{72}$

Этап 8.2.3.3

Упростим $\frac{15 \pm 3 i \sqrt{39}}{72}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{39}}{24}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + i \sqrt{39}}{24}, \frac{5 - i \sqrt{39}}{24}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(12 x + 1) (2 x - 1) (36 x^{2} - 15 x + 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{12}, \frac{1}{2}, \frac{5 + i \sqrt{39}}{24}, \frac{5 - i \sqrt{39}}{24}$