Конечная математика Примеры

$(\frac{1}{2 x - 1}) + (\frac{1}{x + 1}) = \frac{2}{3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x - 1, x + 1, 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 1.5

НОК $1, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 1.6

Множителем $2 x - 1$ является само значение $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $2 x - 1, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(2 x - 1) (x + 1)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (2 x - 1) (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{3}$ умножим на $3 (2 x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{3}$ на $3 (2 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{1}{2 x - 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{2 x - 1} ((2 x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} ((2 x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 x - 1} ((2 x - 1) (x + 1)) + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (x + 1) + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 \cdot 1 + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x + 3 + \frac{1}{x + 1} (3 (2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x + 3 + 3 \frac{1}{x + 1} ((2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Объединим $3$ и $\frac{1}{x + 1}$ .

$3 x + 3 + \frac{3}{x + 1} ((2 x - 1) (x + 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(2 x - 1) (x + 1)$ .

$3 x + 3 + \frac{3}{x + 1} ((x + 1) (2 x - 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$3 x + 3 + \frac{3}{x + 1} ((x + 1) (2 x - 1)) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$3 x + 3 + 3 (2 x - 1) = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 1 = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x + 3 + 6 x + 3 \cdot - 1 = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x + 3 + 6 x - 3 = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $3 x + 3 + 6 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$3 x + 6 x + 0 = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $3 x + 6 x$ и $0$ .

$3 x + 6 x = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $3 x$ и $6 x$ .

$9 x = \frac{2}{3} (3 (2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x - 1) (x + 1)$ .

$9 x = \frac{2}{3} (3 ((2 x - 1) (x + 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$9 x = \frac{2}{3} (3 ((2 x - 1) (x + 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$9 x = 2 ((2 x - 1) (x + 1))$

Этап 2.3.2

Развернем $(2 x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = 2 (2 x (x + 1) - 1 (x + 1))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = 2 (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 (x + 1))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = 2 (2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$9 x = 2 (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x = 2 (2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$9 x = 2 (2 x^{2} + 2 x - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$9 x = 2 (2 x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 x = 2 (2 x^{2} + 2 x - x - 1)$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$9 x = 2 (2 x^{2} + x - 1)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = 2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$9 x = 4 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$9 x = 4 x^{2} + 2 x - 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} + 2 x - 2 = 9 x$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 2 x - 2 - 9 x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $9 x$ из $2 x$ .

$4 x^{2} - 7 x - 2 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$4 x^{2} - 7 x - 2 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $- 7$ как $1$ плюс $- 8$

$4 x^{2} + (1 - 8) x - 2 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 1 x - 8 x - 2 = 0$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x^{2} + x - 8 x - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + x) - 8 x - 2 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x + 1) - 2 (4 x + 1) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x - 2) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 3.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, 2$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{4}, 2$

Десятичная форма:

$x = - 0.25, 2$