Конечная математика Примеры

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Подставим $u$ вместо $\ln (x)$ для всех.

$u^{2} - u - 2 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $\ln (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\ln (x) - 2$ к $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $\ln (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\ln (x) = 2$

Этап 3.2.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

Этап 3.2.3

Перепишем $\ln (x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

Этап 3.2.4

Перепишем уравнение в виде $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

Этап 4

Приравняем $\ln (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\ln (x) + 1$ к $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $\ln (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) = - 1$

Этап 4.2.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 4.2.3

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 4.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ верно.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$