Конечная математика Примеры

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

Этап 1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ , а сумма — $b = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $21$ из $21 u$ .

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $21$ как $9$ плюс $12$

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $3 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 u + 1$ к $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 u = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 u = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{3}$

Этап 5

Приравняем $9 u + 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $9 u + 4$ к $0$ .

$9 u + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $9 u + 4 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$9 u = - 4$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $9 u = - 4$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $9 u = - 4$ на $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 4}{9}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{4}{9}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

Этап 7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Этап 9.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $- \frac{1}{3}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Этап 9.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Этап 9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Этап 9.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 9.2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 9.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 9.2.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 9.2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 9.2.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 9.2.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 9.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 9.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 9.2.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.2.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.2.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 9.2.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 9.2.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

Этап 11.3

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $- \frac{4}{9}$ в виде ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

Этап 11.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 i}{3}$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 i}{3}$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

Этап 12

Решением $27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ является $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ .

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$