Конечная математика Примеры

$2 x^{\frac{11}{5}} - 19 x^{\frac{6}{5}} + 24 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Этап 1

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

$2 {(x^{\frac{1}{5}})}^{11} - 19 {(x^{\frac{1}{5}})}^{6} + 24 x^{\frac{1}{5}}$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{5}}$ .

$2 {(u)}^{11} - 19 {(u)}^{6} + 24 (u) = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $24$ на $u$ .

$2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{11} - 19 u^{6} + 24 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{11}$ .

$u (2 u^{10}) - 19 u^{6} + 24 u = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $- 19 u^{6}$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + 24 u = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $u$ из $24 u$ .

$u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u^{10}) + u (- 19 u^{5})$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u^{10} - 19 u^{5}) + u \cdot 24$ .

$u (2 u^{10} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $u^{10}$ в виде ${(u^{5})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{5})}^{2} - 19 u^{5} + 24) = 0$

Этап 3.2.3

Пусть $u = u^{5}$ . Подставим $u$ вместо $u^{5}$ для всех.

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Этап 3.2.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 24 = 48$ , а сумма — $b = - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Вынесем множитель $- 19$ из $- 19 u$ .

$u (2 u^{2} - 19 u + 24) = 0$

Этап 3.2.4.1.2

Запишем $- 19$ как $- 3$ плюс $- 16$

$u (2 u^{2} + (- 3 - 16) u + 24) = 0$

Этап 3.2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u (2 u^{2} - 3 u - 16 u + 24) = 0$

Этап 3.2.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$u ((2 u^{2} - 3 u) - 16 u + 24) = 0$

Этап 3.2.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (u (2 u - 3) - 8 (2 u - 3)) = 0$

Этап 3.2.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 3$ .

$u ((2 u - 3) (u - 8)) = 0$

Этап 3.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Заменим все вхождения $u$ на $u^{5}$ .

$u ((2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8)) = 0$

Этап 3.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$2 u^{5} - 3 = 0$

$u^{5} - 8 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 3.5

Приравняем $2 u^{5} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 u^{5} - 3$ к $0$ .

$2 u^{5} - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $2 u^{5} - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 u^{5} = 3$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 u^{5} = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 u^{5} = 3$ на $2$ .

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u^{5}}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $u^{5}$ на $1$ .

$u^{5} = \frac{3}{2}$

Этап 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.2.4

Упростим $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{3}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$

Этап 3.5.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Этап 3.5.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Этап 3.5.2.4.3.2

Возведем $\sqrt[5]{2}$ в степень $1$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Этап 3.5.2.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Этап 3.5.2.4.3.4

Добавим $1$ и $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Этап 3.5.2.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{5}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 3.5.2.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 3.5.2.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.5.2.4.3.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.5.2.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Этап 3.5.2.4.3.5.5

Найдем экспоненту.

$u = \frac{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Этап 3.5.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{2^{4}}$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Этап 3.5.2.4.4.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{3} \sqrt[5]{16}}{2}$

Этап 3.5.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$u = \frac{\sqrt[5]{3 \cdot 16}}{2}$

Этап 3.5.2.4.5.2

Умножим $3$ на $16$ .

$u = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$

Этап 3.6

Приравняем $u^{5} - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $u^{5} - 8$ к $0$ .

$u^{5} - 8 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $u^{5} - 8 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u^{5} = 8$

Этап 3.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[5]{8}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (2 u^{5} - 3) (u^{5} - 8) = 0$ верно.

$u = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Этап 4

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{5}} = 0, \frac{\sqrt[5]{48}}{2}, \sqrt[5]{8}$

Этап 5

Решим относительно $x^{\frac{1}{5}} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{5}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

$x = 0^{5}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Решим относительно $x^{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Этап 6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Этап 6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${(\frac{\sqrt[5]{48}}{2})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{48}}{2}$ .

$x = \frac{{\sqrt[5]{48}}^{5}}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем ${\sqrt[5]{48}}^{5}$ в виде $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{48}$ в виде $48^{\frac{1}{5}}$ .

$x = \frac{{(48^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{48^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{48^{\frac{5}{5}}}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{48^{1}}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.2.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{48}{2^{5}}$

Этап 6.2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x = \frac{48}{32}$

Этап 6.2.2.1.4

Сократим общий множитель $48$ и $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{16 (3)}{32}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 2}$

Этап 6.2.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Этап 7.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Этап 7.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Этап 7.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Этап 7.2.1.1.2

Упростим.

$x = {\sqrt[5]{8}}^{5}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Перепишем ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ в виде $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{5}}$ .

$x = {(8^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 7.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 8^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 7.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Этап 7.2.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 8^{\frac{5}{5}}$

Этап 7.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 8^{1}$

Этап 7.2.2.1.5

Найдем экспоненту.

$x = 8$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, \frac{3}{2}, 8$

Десятичная форма:

$x = 0, 1.5, 8$

Форма смешанных чисел:

$x = 0, 1 \frac{1}{2}, 8$