Конечная математика Примеры

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1

Упростим $(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(2 x - 5) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.2.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.2.1.3

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.2.2

Вычтем $5 x$ из $- 4 x$ .

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.3

Развернем $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.4

Умножим $4$ на $- 9$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.1.5

Умножим $10$ на $4$ .

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вычтем $9 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.4.2.2

Добавим $- 36 x$ и $10 x$ .

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

Этап 1.5

Развернем $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.4

Умножим $7$ на $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.8

Умножим $7$ на $- 1$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.10.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.11

Умножим $- 26$ на $2$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.12

Умножим $7$ на $- 26$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.13

Умножим $2$ на $40$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

Этап 1.6.1.14

Умножим $40$ на $7$ .

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Этап 1.6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $14 x^{3}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Этап 1.6.2.2

Вычтем $52 x^{2}$ из $- 7 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

Этап 1.6.2.3

Добавим $- 182 x$ и $80 x$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

Этап 2

Вычтем $91$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

Этап 3

Вычтем $91$ из $280$ .

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

Этап 4.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $81$ .

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.5

Умножим $12$ на $27$ .

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.6

Добавим $324$ и $324$ .

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.7

Возведем $3$ в степень $2$ .

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.8

Умножим $- 59$ на $9$ .

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.9

Вычтем $531$ из $648$ .

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

Этап 4.1.3.10

Умножим $- 102$ на $3$ .

$117 - 306 + 189$

Этап 4.1.3.11

Вычтем $306$ из $117$ .

$- 189 + 189$

Этап 4.1.3.12

Добавим $- 189$ и $189$ .

$0$

Этап 4.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

Этап 4.1.5

Разделим $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Этап 4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

Этап 4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{4} - 12 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

Этап 4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Этап 4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

Этап 4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Этап 4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x^{3} - 72 x^{2}$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

Этап 4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

Этап 4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Этап 4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $13 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

Этап 4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Этап 4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $13 x^{2} - 39 x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

Этап 4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

Этап 4.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Этап 4.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 63 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

Этап 4.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Этап 4.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 63 x + 189$ .

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

Этап 4.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

Этап 4.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

Этап 4.1.6

Запишем $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ в виде набора множителей.

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

Этап 4.2

Разложим $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Этап 4.2.1.3

Подставим $- 4.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 4.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Подставим $- 4.5$ в многочлен.

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.2

Возведем $- 4.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.3

Умножим $4$ на $- 91.125$ .

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.4

Возведем $- 4.5$ в степень $2$ .

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.5

Умножим $24$ на $20.25$ .

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.6

Добавим $- 364.5$ и $486$ .

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.7

Умножим $13$ на $- 4.5$ .

$121.5 - 58.5 - 63$

Этап 4.2.1.3.8

Вычтем $58.5$ из $121.5$ .

$63 - 63$

Этап 4.2.1.3.9

Вычтем $63$ из $63$ .

$0$

Этап 4.2.1.4

Поскольку $- 4.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 9$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

Этап 4.2.1.5

Разделим $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ на $2 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

Этап 4.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 18 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 4.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 4.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Этап 4.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} + 27 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Этап 4.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

Этап 4.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Этап 4.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 14 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

Этап 4.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

Этап 4.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 14 x - 63$ .

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

Этап 4.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

Этап 4.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 3 x - 7$

Этап 4.2.1.6

Запишем $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ в виде набора множителей.

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Приравняем $2 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x + 9$ к $0$ .

$2 x + 9 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 9$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 9$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 9$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{9}{2}$

Этап 8

Приравняем $2 x^{2} + 3 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $2 x^{2} + 3 x - 7$ к $0$ .

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

Этап 8.2

Решим $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 3$ и $c = - 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.1.3

Добавим $9$ и $56$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ верно.

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$