Конечная математика Примеры

$(3 w - 2) - 4 - w = 4 \sqrt{w}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$4 \sqrt{w} = 3 w - 2 - 4 - w$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{w})}^{2} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w}$ в виде $w^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(4 w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $4 w^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 w^{1} = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

$16 w = {(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 w - 2 - 4 - w)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Вычтем $w$ из $3 w$ .

$16 w = {(2 w - 2 - 4)}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$16 w = {(2 w - 6)}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем ${(2 w - 6)}^{2}$ в виде $(2 w - 6) (2 w - 6)$ .

$16 w = (2 w - 6) (2 w - 6)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 w - 6) (2 w - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 w = 2 w (2 w - 6) - 6 (2 w - 6)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 w = 2 w (2 w) + 2 w \cdot - 6 - 6 (2 w - 6)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 w = 2 w (2 w) + 2 w \cdot - 6 - 6 (2 w) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 w = 2 \cdot 2 w \cdot w + 2 w \cdot - 6 - 6 (2 w) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $w$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $w$ .

$16 w = 2 \cdot 2 (w \cdot w) + 2 w \cdot - 6 - 6 (2 w) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $w$ на $w$ .

$16 w = 2 \cdot 2 w^{2} + 2 w \cdot - 6 - 6 (2 w) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$16 w = 4 w^{2} + 2 w \cdot - 6 - 6 (2 w) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $2$ .

$16 w = 4 w^{2} - 12 w - 6 (2 w) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$16 w = 4 w^{2} - 12 w - 12 w - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$16 w = 4 w^{2} - 12 w - 12 w + 36$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $12 w$ из $- 12 w$ .

$16 w = 4 w^{2} - 24 w + 36$

Этап 4

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $w$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 w^{2} - 24 w + 36 = 16 w$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $w$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $16 w$ из обеих частей уравнения.

$4 w^{2} - 24 w + 36 - 16 w = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $16 w$ из $- 24 w$ .

$4 w^{2} - 40 w + 36 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 w^{2} - 40 w + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 w^{2}$ .

$4 (w^{2}) - 40 w + 36 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 40 w$ .

$4 (w^{2}) + 4 (- 10 w) + 36 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$4 w^{2} + 4 (- 10 w) + 4 \cdot 9 = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 w^{2} + 4 (- 10 w)$ .

$4 (w^{2} - 10 w) + 4 \cdot 9 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (w^{2} - 10 w) + 4 \cdot 9$ .

$4 (w^{2} - 10 w + 9) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим $w^{2} - 10 w + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $- 10$ .

$- 9, - 1$

Этап 4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((w - 9) (w - 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (w - 9) (w - 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 9 = 0$

$w - 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $w - 9$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $w - 9$ к $0$ .

$w - 9 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$w = 9$

Этап 4.6

Приравняем $w - 1$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $w - 1$ к $0$ .

$w - 1 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$w = 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (w - 9) (w - 1) = 0$ верно.

$w = 9, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $(3 w - 2) - 4 - w = 4 \sqrt{w}$ истинным.

$w = 9$