Конечная математика Примеры

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (8000 e^{0.06 t})$ в виде $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ .

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (e^{0.06 t})$ , вынося $0.06 t$ из логарифма.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Этап 2.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Этап 2.4

Умножим $0.06$ на $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ в виде $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

Этап 3.2

Развернем $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ , вынося $t$ из логарифма.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

Этап 3.3

Разделим $0.03$ на $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Этап 6

Сократим общий множитель $8000$ и $47000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $1000$ из $8000$ .

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $1000$ из $47000$ .

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

Этап 7

Добавим $0.06 t$ к обеим частям уравнения.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

Этап 8

Вычтем $\ln (\frac{8}{47})$ из обеих частей уравнения.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Этап 9

Вынесем множитель $0.02 t$ из $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $0.02 t$ из $- t \ln (1.03)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

Этап 9.2

Вынесем множитель $0.02 t$ из $0.06 t$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Этап 9.3

Вынесем множитель $0.02 t$ из $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

Этап 10

Разделим каждый член $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ на $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ на $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Сократим общий множитель $0.02$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.2.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.3.2

Умножим на $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

Этап 10.3.3

Разделим дроби.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Этап 10.3.4

Разделим $1$ на $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

Этап 10.3.5

Объединим $50$ и $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

Этап 10.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 50 \ln (1.03)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

Этап 10.3.7

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

Этап 10.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

Этап 10.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.9.1

Перепишем $- (50 \ln (1.03) - 3)$ в виде $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

Этап 10.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Этап 10.3.9.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Этап 10.3.9.4

Умножим $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ на $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

Десятичная форма:

$t = 58.16808110 \dots$