Конечная математика Примеры

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

Этап 1

Вычтем $24 \cdot 2^{x}$ из обеих частей уравнения.

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Этап 2

Перепишем $2^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

Этап 4

Перенесем $128$ .

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим $u^{2} - 24 u + 128$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $128$ , а сумма — $- 24$ .

$- 16, - 8$

Этап 5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u - 8) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

Этап 5.3

Приравняем $u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

Этап 5.4

Приравняем $u - 8$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $u - 8$ к $0$ .

$u - 8 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$u = 8$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 16) (u - 8) = 0$ верно.

$u = 16, 8$

Этап 6

Подставим $16$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$16 = 2^{x}$

Этап 7

Решим $16 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 16$ .

$2^{x} = 16$

Этап 7.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{4}$

Этап 7.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 4$

Этап 8

Подставим $8$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Этап 9

Решим $8 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Этап 9.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{3}$

Этап 9.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = 4, 3$