Конечная математика Примеры

$\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$

Этап 1

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$1 \cdot (\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}) = (x - 2) \cdot (3)$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ на $1$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = (x - 2) \cdot (3)$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим $(x - 2) \cdot (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = x \cdot 3 - 2 \cdot 3$

Этап 1.3.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 \cdot x - 2 \cdot 3$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30} = 3 x - 6$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}$ в виде ${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x^{2} - 19 x + 30)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 x - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 6)}^{2}$ в виде $(3 x - 6) (3 x - 6)$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 x - 6) (3 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $3$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$4 x^{2} - 19 x + 30 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $9 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} = - 36 x + 36$

Этап 4.1.2

Добавим $36 x$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} - 19 x + 30 - 9 x^{2} + 36 x = 36$

Этап 4.1.3

Вычтем $9 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} - 19 x + 30 + 36 x = 36$

Этап 4.1.4

Добавим $- 19 x$ и $36 x$ .

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 = 36$

Этап 4.2

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x^{2} + 17 x + 30 - 36 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $36$ из $30$ .

$- 5 x^{2} + 17 x - 6 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{2} + 17 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{2}$ .

$- (5 x^{2}) + 17 x - 6 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $17 x$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 6 = 0$

Этап 4.4.1.3

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$- (5 x^{2}) - (- 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{2}) - (- 17 x)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x) - 1 \cdot 6 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{2} - 17 x) - 1 (6)$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 x$ .

$- (5 x^{2} - 17 x + 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $- 17$ как $- 2$ плюс $- 15$

$- (5 x^{2} + (- 2 - 15) x + 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (5 x^{2} - 2 x - 15 x + 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((5 x^{2} - 2 x) - 15 x + 6) = 0$

Этап 4.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (5 x - 2) - 3 (5 x - 2)) = 0$

Этап 4.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 2$ .

$- ((5 x - 2) (x - 3)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (5 x - 2) (x - 3) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $5 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 2$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 4.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (5 x - 2) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{5}, 3$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 19 x + 30}} = \frac{1}{3}$ истинным.

$x = 3$