Конечная математика Примеры

$x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

Этап 1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} + 11 {(- 1)}^{2} + 31 \cdot - 1 + 21$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 11 {(- 1)}^{2} + 31 \cdot - 1 + 21$

Этап 1.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 + 31 \cdot - 1 + 21$

Этап 1.1.3.4

Умножим $11$ на $1$ .

$- 1 + 11 + 31 \cdot - 1 + 21$

Этап 1.1.3.5

Добавим $- 1$ и $11$ .

$10 + 31 \cdot - 1 + 21$

Этап 1.1.3.6

Умножим $31$ на $- 1$ .

$10 - 31 + 21$

Этап 1.1.3.7

Вычтем $31$ из $10$ .

$- 21 + 21$

Этап 1.1.3.8

Добавим $- 21$ и $21$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21}{x + 1}$

Этап 1.1.5

Разделим $x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$31 x$

$21$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{2} + 10 x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$21 x$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$21 x$	+	$21$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $21 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$21 x$	+	$21$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$21 x$	+	$21$
							+	$21 x$	+	$21$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $21 x + 21$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$21 x$	+	$21$
							-	$21 x$	-	$21$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$10 x$	+	$21$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$31 x$	+	$21$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$31 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$21 x$	+	$21$
							-	$21 x$	-	$21$
										$0$

Этап 1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 10 x + 21$

Этап 1.1.6

Запишем $x^{3} + 11 x^{2} + 31 x + 21$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{2} + 10 x + 21) = 0$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + 10 x + 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{2} + 10 x + 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $21$ , а сумма — $10$ .

$3, 7$

Этап 1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 7)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x + 3) (x + 7) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 3) (x + 7) = 0$ верно.

$x = - 1, - 3, - 7$