Конечная математика Примеры

$x^{\frac{- 2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Этап 1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{\frac{- 1}{3}} - 56 = 0$

Этап 1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + x^{- \frac{1}{3}} - 56 = 0$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$

Этап 2.2

Since $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

НОК $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ умножим на $x^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 56 = 0$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{3}}$ из $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ , который присутствует в каждом члене.

$1 + x^{\frac{1}{3}} - 56 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Этап 4.2

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + u - 56 {(u)}^{2} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Избавимся от скобок.

$1 + u - 56 u^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $1 + u - 56 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Перенесем $1$ .

$u - 56 u^{2} + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.1.2

Изменим порядок $u$ и $- 56 u^{2}$ .

$- 56 u^{2} + u + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 56 u^{2}$ .

$- (56 u^{2}) + u + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $u$ .

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (56 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (56 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (56 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (56 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (56 u^{2} - u - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 56 \cdot - 1 = - 56$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$- (56 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $7$ плюс $- 8$

$- (56 u^{2} + (7 - 8) u - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (56 u^{2} + 7 u - 8 u - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((56 u^{2} + 7 u) - 8 u - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (7 u (8 u + 1) - (8 u + 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 u + 1$ .

$- ((8 u + 1) (7 u - 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$

Этап 4.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 u + 1 = 0$

$7 u - 1 = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $8 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $8 u + 1$ к $0$ .

$8 u + 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Решим $8 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 u = - 1$

Этап 4.3.4.2.2

Разделим каждый член $8 u = - 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $8 u = - 1$ на $8$ .

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 u}{8} = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{8}$

Этап 4.3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{8}$

Этап 4.3.5

Приравняем $7 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Приравняем $7 u - 1$ к $0$ .

$7 u - 1 = 0$

Этап 4.3.5.2

Решим $7 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$7 u = 1$

Этап 4.3.5.2.2

Разделим каждый член $7 u = 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $7 u = 1$ на $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 4.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 4.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{7}$

Этап 4.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (8 u + 1) (7 u - 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Этап 4.4

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}, \frac{1}{7}$

Этап 4.5

Решим относительно $x^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{8}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Этап 4.5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Этап 4.5.2.1.1.2

Упростим.

$x = {(- \frac{1}{8})}^{3}$

Этап 4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Упростим ${(- \frac{1}{8})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{8}$ .

$x = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{8})}^{3}$

Этап 4.5.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{8}$ .

$x = {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - \frac{1^{3}}{8^{3}}$

Этап 4.5.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = - \frac{1}{8^{3}}$

Этап 4.5.2.2.1.4

Возведем $8$ в степень $3$ .

$x = - \frac{1}{512}$

Этап 4.6

Решим относительно $x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{7}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Этап 4.6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Этап 4.6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Этап 4.6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Этап 4.6.2.1.1.2

Упростим.

$x = {(\frac{1}{7})}^{3}$

Этап 4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Упростим ${(\frac{1}{7})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{1^{3}}{7^{3}}$

Этап 4.6.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{1}{7^{3}}$

Этап 4.6.2.2.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$x = \frac{1}{343}$

Этап 4.7

Перечислим все решения.

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{512}, \frac{1}{343}$

Десятичная форма:

$x = - 0.00195312 \dots, 0.00291545 \dots$