Конечная математика Примеры

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

Этап 1

Перепишем $5^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $5^{x}$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $28$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

Этап 3.2

Разложим $u^{2} + 3 u - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 28$ , а сумма — $3$ .

$- 4, 7$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 3.5

Приравняем $u + 7$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u + 7$ к $0$ .

$u + 7 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$u = - 7$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u + 7) = 0$ верно.

$u = 4, - 7$

Этап 4

Подставим $4$ вместо $u$ в $u = 5^{x}$ .

$4 = 5^{x}$

Этап 5

Решим $4 = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $5^{x} = 4$ .

$5^{x} = 4$

Этап 5.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Этап 5.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (4)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (4)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Этап 6

Подставим $- 7$ вместо $u$ в $u = 5^{x}$ .

$- 7 = 5^{x}$

Этап 7

Решим $- 7 = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $5^{x} = - 7$ .

$5^{x} = - 7$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

Этап 7.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 7)$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.4

Нет решения для $5^{x} = - 7$

Нет решения

Этап 8

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 0.86135311 \dots$