Конечная математика Примеры

$\sqrt{3 x + 6} = \sqrt{x + 6} + 2$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x + 6}}^{2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 6}$ в виде ${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 6)}^{1} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 x + 6 = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$ .

$3 x + 6 = (\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} (\sqrt{x + 6} + 2) + 2 (\sqrt{x + 6} + 2)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 (\sqrt{x + 6} + 2)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x + 6}$ в степень $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x + 6}$ в степень $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1} {\sqrt{x + 6}}^{1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x + 6}}^{2}$ в виде $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 6}$ в виде ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 6 = {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$3 x + 6 = x + 6 + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{x + 6}$ .

$3 x + 6 = x + 6 + 2 \cdot \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$3 x + 6 = x + 6 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6} + 4$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $6$ и $4$ .

$3 x + 6 = x + 10 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6}$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $2 \sqrt{x + 6}$ и $2 \sqrt{x + 6}$ .

$3 x + 6 = x + 10 + 4 \sqrt{x + 6}$

Этап 3

Решим относительно $4 \sqrt{x + 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x + 10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6$ .

$x + 10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $4 \sqrt{x + 6}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6 - x$

Этап 3.2.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6 - x - 10$

Этап 3.2.3

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$4 \sqrt{x + 6} = 2 x + 6 - 10$

Этап 3.2.4

Вычтем $10$ из $6$ .

$4 \sqrt{x + 6} = 2 x - 4$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{x + 6})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 6}$ в виде ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(x + 6)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$16 (x + 6) = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 16 \cdot 6 = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $16$ на $6$ .

$16 x + 96 = {(2 x - 4)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(2 x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(2 x - 4)}^{2}$ в виде $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$16 x + 96 = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(2 x - 4) (2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 96 = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 96 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 x + 96 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 x + 96$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 16 - 16 x = 96$

Этап 6.2.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 16 = 96$

Этап 6.3

Вычтем $96$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 32 x + 16 - 96 = 0$

Этап 6.4

Вычтем $96$ из $16$ .

$4 x^{2} - 32 x - 80 = 0$

Этап 6.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 32 x - 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 32 x - 80 = 0$

Этап 6.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 32 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) - 80 = 0$

Этап 6.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 80$ .

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot - 20 = 0$

Этап 6.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} + 4 (- 8 x)$ .

$4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot - 20 = 0$

Этап 6.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot - 20$ .

$4 (x^{2} - 8 x - 20) = 0$

Этап 6.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 8$ .

$- 10, 2$

Этап 6.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((x - 10) (x + 2)) = 0$

Этап 6.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 10) (x + 2) = 0$

Этап 6.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6.7

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 6.7.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 6.8

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 10) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 10, - 2$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 x + 6} = \sqrt{x + 6} + 2$ истинным.

$x = 10$