Конечная математика Примеры

$\sqrt{3 x + 10} = 5 - 2 x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 x + 10}}^{2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 10}$ в виде ${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 10)}^{1} = {(5 - 2 x)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 x + 10 = {(5 - 2 x)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(5 - 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(5 - 2 x)}^{2}$ в виде $(5 - 2 x) (5 - 2 x)$ .

$3 x + 10 = (5 - 2 x) (5 - 2 x)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(5 - 2 x) (5 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 10 = 5 (5 - 2 x) - 2 x (5 - 2 x)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 10 = 5 \cdot 5 + 5 (- 2 x) - 2 x (5 - 2 x)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 10 = 5 \cdot 5 + 5 (- 2 x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- 2 x)$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$3 x + 10 = 25 + 5 (- 2 x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (- 2 x)$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 2 x \cdot 5 - 2 x (- 2 x)$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 x (- 2 x)$

Этап 2.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x - 2 \cdot - 2 x^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$3 x + 10 = 25 - 10 x - 10 x + 4 x^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$3 x + 10 = 25 - 20 x + 4 x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$25 - 20 x + 4 x^{2} = 3 x + 10$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$25 - 20 x + 4 x^{2} - 3 x = 10$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 20 x$ .

$25 + 4 x^{2} - 23 x = 10$

Этап 3.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$25 + 4 x^{2} - 23 x - 10 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $10$ из $25$ .

$4 x^{2} - 23 x + 15 = 0$

Этап 3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ , а сумма — $b = - 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $- 23$ из $- 23 x$ .

$4 x^{2} - 23 x + 15 = 0$

Этап 3.5.1.2

Запишем $- 23$ как $- 3$ плюс $- 20$

$4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15 = 0$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15 = 0$

Этап 3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15 = 0$

Этап 3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3) = 0$

Этап 3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 5) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 3.8

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 3) (x - 5) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{4}, 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 x + 10} = 5 - 2 x$ истинным.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$x = 0.75$