Конечная математика Примеры

$\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{9 + 4 x} = - 2$

Этап 1

Добавим $\sqrt{9 + 4 x}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x + 1} = - 2 + \sqrt{9 + 4 x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 1}$ в виде ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 1)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 x + 1 = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ в виде $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ .

$2 x + 1 = (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = - 2 (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \cdot \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{9 + 4 x}$ в степень $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} \sqrt{9 + 4 x}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{9 + 4 x}$ в степень $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} {\sqrt{9 + 4 x}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$ в виде $9 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 + 4 x}$ в виде ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 9 + 4 x$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $4$ и $9$ .

$2 x + 1 = 13 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Этап 3.3.1.3.3

Вычтем $2 \sqrt{9 + 4 x}$ из $- 2 \sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Этап 4

Решим относительно $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$ .

$13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1 - 13$

Этап 4.2.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = 2 x + 1 - 13 - 4 x$

Этап 4.2.3

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x + 1 - 13$

Этап 4.2.4

Вычтем $13$ из $1$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x - 12$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4 \sqrt{9 + 4 x})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 + 4 x}$ в виде ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$16 {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(9 + 4 x)}^{1} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$16 (9 + 4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 \cdot 9 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Умножим $16$ на $9$ .

$144 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.2.1.6.2

Умножим $4$ на $16$ .

$144 + 64 x = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(- 2 x - 12)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(- 2 x - 12)}^{2}$ в виде $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ .

$144 + 64 x = (- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x - 12) - 12 (- 2 x - 12)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x - 12)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x - 12 \cdot - 12$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x + 144$

Этап 6.3.1.3.2

Добавим $24 x$ и $24 x$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 48 x + 144$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} + 48 x + 144 = 144 + 64 x$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $64 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 48 x + 144 - 64 x = 144$

Этап 7.2.2

Вычтем $64 x$ из $48 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 144 = 144$

Этап 7.3

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 16 x + 144 - 144 = 0$

Этап 7.4

Объединим противоположные члены в $4 x^{2} - 16 x + 144 - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вычтем $144$ из $144$ .

$4 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $4 x^{2} - 16 x$ и $0$ .

$4 x^{2} - 16 x = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{2}$ .

$4 x (x) - 16 x = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 16 x$ .

$4 x (x) + 4 x (- 4) = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x - 4) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 7.8

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$