Конечная математика Примеры

$\cos (z) \sin (z) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (z) = 0$

$\sin (z) = 0$

Этап 2

Приравняем $\cos (z)$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\cos (z)$ к $0$ .

$\cos (z) = 0$

Этап 2.2

Решим $\cos (z) = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $z$ из косинуса.

$z = \arccos (0)$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$z = \frac{π}{2}$

Этап 2.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$z = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$z = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$z = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$z = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$z = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$z = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.5

Найдем период $\cos (z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.6

Период функции $\cos (z)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$z = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\sin (z)$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sin (z)$ к $0$ .

$\sin (z) = 0$

Этап 3.2

Решим $\sin (z) = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $z$ из синуса.

$z = \arcsin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$z = 0$

Этап 3.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$z = π - 0$

Этап 3.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$z = π$

Этап 3.2.5

Найдем период $\sin (z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.6

Период функции $\sin (z)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$z = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (z) \sin (z) = 0$ верно.

$z = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим ответы.

$z = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$