Конечная математика Примеры

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Этап 1

Найдем общий множитель $z^{\frac{3}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $z^{\frac{3}{5}}$ .

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u^{\frac{13}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $2 u$ из $12 u$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Этап 3.1.1.4

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Этап 3.1.1.5

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Этап 3.1.2

Перепишем $u^{\frac{10}{3}}$ в виде ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ .

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Этап 3.1.3

Пусть $u = u^{\frac{5}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $u^{\frac{5}{3}}$ для всех.

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Этап 3.1.4

Разложим $u^{2} - 7 u + 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $6$ , а сумма — $- 7$ .

$- 6, - 1$

Этап 3.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Этап 3.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Заменим все вхождения $u$ на $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

Этап 3.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u^{\frac{5}{3}} - 6$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u^{\frac{5}{3}} - 6$ к $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

Этап 3.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Упростим.

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5

Приравняем $u^{\frac{5}{3}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u^{\frac{5}{3}} - 1$ к $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

Этап 3.5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Упростим ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Упростим.

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

Этап 3.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$u = 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ верно.

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Этап 4

Подставим $z$ вместо $u$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Этап 5

Решим относительно $z^{\frac{3}{5}} = 0$ для $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $0^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z = 0^{5}$

Этап 5.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$z = 0$

Этап 6

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$z = 6$

Этап 7

Решим относительно $z^{\frac{3}{5}} = 1$ для $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Упростим ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.1.1.2

Упростим.

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$z = 1$

Этап 8

Перечислим все решения.

$z = 0, 6, 1$