Конечная математика Примеры

$z^{2} - 2 i z + 1 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 i$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2 i)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.10

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$z = \frac{2 i \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.12

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$z = i \pm i \sqrt{2}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = i + i \sqrt{2}, i - i \sqrt{2}$