Конечная математика Примеры

$0 = \frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ .

$\frac{- 14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1 + R, {(1 + R)}^{2}, {(1 + R)}^{3}, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.5

Множителем $1 + R$ является само значение $1 + R$ .

$(1 + R) = 1 + R$

$(1 + R)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.6

Множители $1 + R$ — это $(1 + R) \cdot (1 + R)$ , то есть $1 + R$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ встречается $2$ раз.

Этап 3.7

Множители $1 + R$ — это $(1 + R) \cdot (1 + R) \cdot (1 + R)$ , то есть $1 + R$ , умноженный на себя $3$ раз.

$(1 + R) = (1 + R) \cdot (1 + R) \cdot (1 + R)$

$(1 + R)$ встречается $3$ раз.

Этап 3.8

НОК $1 + R, {(1 + R)}^{2}, {(1 + R)}^{3}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(1 + R)}^{3}$

Этап 4

Каждый член в $- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ умножим на ${(1 + R)}^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $- \frac{14000}{1 + R} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} = 0$ на ${(1 + R)}^{3}$ .

$- \frac{14000}{1 + R} {(1 + R)}^{3} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $1 + R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{14000}{1 + R}$ в числитель.

$\frac{- 14000}{1 + R} {(1 + R)}^{3} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.1.2

Вынесем множитель $1 + R$ из ${(1 + R)}^{3}$ .

$\frac{- 14000}{1 + R} ((1 + R) {(1 + R)}^{2}) + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 14000}{1 + R} ((1 + R) {(1 + R)}^{2}) + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} {(1 + R)}^{3} + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель ${(1 + R)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Вынесем множитель ${(1 + R)}^{2}$ из ${(1 + R)}^{3}$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} ({(1 + R)}^{2} (1 + R)) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + \frac{9000}{{(1 + R)}^{2}} ({(1 + R)}^{2} (1 + R)) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 (1 + R) + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 \cdot 1 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $9000$ на $1$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.5

Сократим общий множитель ${(1 + R)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + \frac{10000}{{(1 + R)}^{3}} {(1 + R)}^{3} = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 + 9000 R + 10000 = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.2.2

Добавим $9000$ и $10000$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0 {(1 + R)}^{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $0$ на ${(1 + R)}^{3}$ .

$- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1000$ из $- 14000 {(1 + R)}^{2} + 9000 R + 19000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Изменим порядок $1$ и $R$ .

$- 14000 {(R + 1)}^{2} + 9000 R + 19000 = 0$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $- 1000$ из $- 14000 {(R + 1)}^{2}$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) + 9000 R + 19000 = 0$

Этап 5.1.1.3

Вынесем множитель $- 1000$ из $9000 R$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R) + 19000 = 0$

Этап 5.1.1.4

Вынесем множитель $- 1000$ из $19000$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R) - 1000 \cdot - 19 = 0$

Этап 5.1.1.5

Вынесем множитель $- 1000$ из $- 1000 (14 {(R + 1)}^{2}) - 1000 (- 9 R)$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R) - 1000 \cdot - 19 = 0$

Этап 5.1.1.6

Вынесем множитель $- 1000$ из $- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R) - 1000 (- 19)$ .

$- 1000 (14 {(R + 1)}^{2} - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.2

Перепишем ${(R + 1)}^{2}$ в виде $(R + 1) (R + 1)$ .

$- 1000 (14 ((R + 1) (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.3

Развернем $(R + 1) (R + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1000 (14 (R (R + 1) + 1 (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1000 (14 (R \cdot R + R \cdot 1 + 1 (R + 1)) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1000 (14 (R \cdot R + R \cdot 1 + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Умножим $R$ на $R$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R \cdot 1 + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.4.1.2

Умножим $R$ на $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + 1 R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.4.1.3

Умножим $R$ на $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + R + 1 \cdot 1) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + R + R + 1) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $R$ и $R$ .

$- 1000 (14 (R^{2} + 2 R + 1) - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1000 (14 R^{2} + 14 (2 R) + 14 \cdot 1 - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $2$ на $14$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 28 R + 14 \cdot 1 - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.6.2

Умножим $14$ на $1$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 28 R + 14 - 9 R - 19) = 0$

Этап 5.1.7

Вычтем $9 R$ из $28 R$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 19 R + 14 - 19) = 0$

Этап 5.1.8

Вычтем $19$ из $14$ .

$- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$ на $- 1000$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5) = 0$ на $- 1000$ .

$\frac{- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5)}{- 1000} = \frac{0}{- 1000}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 1000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1000 (14 R^{2} + 19 R - 5)}{- 1000} = \frac{0}{- 1000}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $14 R^{2} + 19 R - 5$ на $1$ .

$14 R^{2} + 19 R - 5 = \frac{0}{- 1000}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1000$ .

$14 R^{2} + 19 R - 5 = 0$

Этап 5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4

Подставим значения $a = 14$ , $b = 19$ и $c = - 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $R$ .

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 5)}}{2 \cdot 14}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $19$ в степень $2$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 14 \cdot - 5}}{2 \cdot 14}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 14 \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $14$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 56 \cdot - 5}}{2 \cdot 14}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 56$ на $- 5$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 280}}{2 \cdot 14}$

Этап 5.5.1.3

Добавим $361$ и $280$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{641}}{2 \cdot 14}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $14$ .

$R = \frac{- 19 \pm \sqrt{641}}{28}$

Этап 5.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$R = - \frac{19 - \sqrt{641}}{28}, - \frac{19 + \sqrt{641}}{28}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$R = - \frac{19 - \sqrt{641}}{28}, - \frac{19 + \sqrt{641}}{28}$

Десятичная форма:

$R = 0.22564206 \dots, - 1.58278492 \dots$