Конечная математика Примеры

${(a - 2 b)}^{7}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(a - 2 b)}^{7}$ $n = 7$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $8$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $a$ и $b$ $- 2 b$ в выражение.

$1 {(a)}^{7} {(- 2 b)}^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(a)}^{7}$ на $1$ .

${(a)}^{7} {(- 2 b)}^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} ({(- 2)}^{0} b^{0}) + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 2)}^{0} a^{7} b^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.5

Умножим $a^{7}$ на $1$ .

$a^{7} b^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a^{7} \cdot 1 + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.7

Умножим $a^{7}$ на $1$ .

$a^{7} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.8

Упростим.

$a^{7} + 7 a^{6} (- 2 b) + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{7} + 7 \cdot - 2 a^{6} b + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.10

Умножим $7$ на $- 2$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 a^{5} ({(- 2)}^{2} b^{2}) + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 \cdot {(- 2)}^{2} a^{5} b^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.13

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 \cdot 4 a^{5} b^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.14

Умножим $21$ на $4$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} ({(- 2)}^{3} b^{3}) + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 \cdot {(- 2)}^{3} a^{4} b^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.17

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 \cdot - 8 a^{4} b^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.18

Умножим $35$ на $- 8$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} ({(- 2)}^{4} b^{4}) + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 \cdot {(- 2)}^{4} a^{3} b^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.21

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 \cdot 16 a^{3} b^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.22

Умножим $35$ на $16$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} ({(- 2)}^{5} b^{5}) + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.24

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 \cdot {(- 2)}^{5} a^{2} b^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.25

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 \cdot - 32 a^{2} b^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.26

Умножим $21$ на $- 32$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.27

Упростим.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 a {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 a ({(- 2)}^{6} b^{6}) + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.29

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 \cdot {(- 2)}^{6} a b^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.30

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 \cdot 64 a b^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.31

Умножим $7$ на $64$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.32

Умножим ${(a)}^{0}$ на $1$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.33

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + 1 {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.34

Умножим ${(- 2 b)}^{7}$ на $1$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + {(- 2 b)}^{7}$

Этап 4.35

Применим правило умножения к $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + {(- 2)}^{7} b^{7}$

Этап 4.36

Возведем $- 2$ в степень $7$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} - 128 b^{7}$