Конечная математика Примеры

$\frac{7}{n + 4} - \frac{2}{n - 3} = \frac{2 n - 9}{n^{2} + n - 12}$

Этап 1

Разложим $n^{2} + n - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{7}{n + 4} - \frac{2}{n - 3} = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$n + 4, n - 3, (n - 3) (n + 4)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $n + 4$ является само значение $n + 4$ .

$(n + 4) = n + 4$

$(n + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $n - 3$ является само значение $n - 3$ .

$(n - 3) = n - 3$

$(n - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $n + 4$ является само значение $n + 4$ .

$(n + 4) = n + 4$

$(n + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $n + 4, n - 3, n - 3, n + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(n + 4) (n - 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{7}{n + 4} - \frac{2}{n - 3} = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)}$ умножим на $(n + 4) (n - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{7}{n + 4} - \frac{2}{n - 3} = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)}$ на $(n + 4) (n - 3)$ .

$\frac{7}{n + 4} ((n + 4) (n - 3)) - \frac{2}{n - 3} ((n + 4) (n - 3)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $n + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{n + 4} ((n + 4) (n - 3)) - \frac{2}{n - 3} ((n + 4) (n - 3)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$7 (n - 3) - \frac{2}{n - 3} ((n + 4) (n - 3)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 n + 7 \cdot - 3 - \frac{2}{n - 3} ((n + 4) (n - 3)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $7$ на $- 3$ .

$7 n - 21 - \frac{2}{n - 3} ((n + 4) (n - 3)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $n - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{n - 3}$ в числитель.

$7 n - 21 + \frac{- 2}{n - 3} ((n + 4) (n - 3)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $n - 3$ из $(n + 4) (n - 3)$ .

$7 n - 21 + \frac{- 2}{n - 3} ((n - 3) (n + 4)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$7 n - 21 + \frac{- 2}{n - 3} ((n - 3) (n + 4)) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$7 n - 21 - 2 (n + 4) = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$7 n - 21 - 2 n - 2 \cdot 4 = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 2$ на $4$ .

$7 n - 21 - 2 n - 8 = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2 n$ из $7 n$ .

$5 n - 21 - 8 = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $8$ из $- 21$ .

$5 n - 29 = \frac{2 n - 9}{(n - 3) (n + 4)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(n + 4) (n - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(n + 4) (n - 3)$ из $(n - 3) (n + 4)$ .

$5 n - 29 = \frac{2 n - 9}{(n + 4) (n - 3) (1)} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$5 n - 29 = \frac{2 n - 9}{(n + 4) (n - 3) \cdot 1} ((n + 4) (n - 3))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$5 n - 29 = 2 n - 9$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 n$ из обеих частей уравнения.

$5 n - 29 - 2 n = - 9$

Этап 4.1.2

Вычтем $2 n$ из $5 n$ .

$3 n - 29 = - 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $29$ к обеим частям уравнения.

$3 n = - 9 + 29$

Этап 4.2.2

Добавим $- 9$ и $29$ .

$3 n = 20$

Этап 4.3

Разделим каждый член $3 n = 20$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $3 n = 20$ на $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{20}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 n}{3} = \frac{20}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{20}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$n = \frac{20}{3}$

Десятичная форма:

$n = 6.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$n = 6 \frac{2}{3}$