Конечная математика Примеры

$p^{2} \cdot k^{2} + p (k \cdot n - k) + n = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{2} k^{2} + p (k n) + p (- k) + n = 0$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p^{2} k^{2} + p k n - p k + n = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = p^{2}$ , $b = p n - p$ и $c = n$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $k$ .

$\frac{- (p n - p) \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot (p^{2} \cdot n)}}{2 p^{2}}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- (p n) + p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $- - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k = \frac{- p n + 1 p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $p$ на $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{{(p n - p)}^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем ${(p n - p)}^{2}$ в виде $(p n - p) (p n - p)$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{(p n - p) (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.4

Развернем $(p n - p) (p n - p)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n - p) - p (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n) + p n (- p) - p (p n - p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p n (p n) + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1.1

Перенесем $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p \cdot p n \cdot n + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.1.2

Умножим $p$ на $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n \cdot n + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Перенесем $n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n \cdot n) + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} + p n (- p) - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p n p - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.4

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Перенесем $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p \cdot p n - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.4.2

Умножим $p$ на $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p (p n) - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.5

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.5.1

Перенесем $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p \cdot p n - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.5.2

Умножим $p$ на $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - p (- p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 p \cdot p) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.7

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.7.1

Перенесем $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 (p \cdot p)) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.7.2

Умножим $p$ на $p$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n - 1 \cdot (- 1 p^{2}) - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n + 1 p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.1.9

Умножим $p^{2}$ на $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - p^{2} n - p^{2} n + p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.5.2

Вычтем $p^{2} n$ из $- p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} - 2 p^{2} n + p^{2} - 4 \cdot p^{2} \cdot n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.6

Вычтем $4 p^{2} n$ из $- 2 p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.7

Перепишем $p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем множитель $p^{2}$ из $p^{2} n^{2} + p^{2} - 6 p^{2} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Вынесем множитель $p^{2}$ из $p^{2} n^{2}$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.7.1.2

Умножим на $1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1 - 6 p^{2} n}}{2 p^{2}}$

Этап 4.7.1.3

Вынесем множитель $p^{2}$ из $- 6 p^{2} n$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1 + p^{2} (- 6 n)}}{2 p^{2}}$

Этап 4.7.1.4

Вынесем множитель $p^{2}$ из $p^{2} (n^{2}) + p^{2} \cdot 1$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} + 1) + p^{2} (- 6 n)}}{2 p^{2}}$

Этап 4.7.1.5

Вынесем множитель $p^{2}$ из $p^{2} (n^{2} + 1) + p^{2} (- 6 n)$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} + 1 - 6 n)}}{2 p^{2}}$

Этап 4.7.2

Изменим порядок членов.

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} - 6 n + 1)}}{2 p^{2}}$

Этап 4.8

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$k = \frac{- p n + p \pm \sqrt{p^{2} (n^{2} - 6 n + 1^{2})}}{2 p^{2}}$

Этап 4.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$k = \frac{- p n + p \pm p \sqrt{n^{2} - 6 n + 1^{2}}}{2 p^{2}}$

Этап 4.10

Единица в любой степени равна единице.

$k = \frac{- p n + p \pm p \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p^{2}}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$k = - \frac{n - 1 - \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p}$

$k = - \frac{n - 1 + \sqrt{n^{2} - 6 n + 1}}{2 p}$