Конечная математика Примеры

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x}{33 + x}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x + 1}{2 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{x}{33 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 - x) (33 + x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x + 1}{2 - x}$ на $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x}{33 + x}$ на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x + 1) (33 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перенесем $33$ влево от $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим $33$ на $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $33 x$ и $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.6.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.7

Вычтем $2 x$ из $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.8

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 2.5.9

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 2$ , $b = 32$ и $c = 33$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.3

Вычтем $264$ из $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.4

Перепишем $760$ в виде $2^{2} \cdot 190$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Этап 8

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 9

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 9.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 10

Вычтем $33$ из обеих частей уравнения.

$x = - 33$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Этап 12

Объединим решения.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Этап 13.2.2

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 13.2.2.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 13.2.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 13.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 13.2.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 13.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 13.2.3

Приравняем $33 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Приравняем $33 + x$ к $0$ .

$33 + x = 0$

Этап 13.2.3.2

Вычтем $33$ из обеих частей уравнения.

$x = - 33$

Этап 13.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 - x) (33 + x) = 0$ верно.

$x = 2, - 33$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 33$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 33$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 36$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 36$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Этап 15.1.3

Левая часть $- 0.92105263$ меньше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 17$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $- 17$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Этап 15.2.3

Левая часть $- 0.84210526$ не меньше правой части $- 1.0625$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Этап 15.3.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $- 0.13793103$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.4

Проверим значение на интервале $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Выберем значение на интервале $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.4.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Этап 15.4.3

Левая часть $0.5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 15.5

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 15.5.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Этап 15.5.3

Левая часть $- 2.5$ меньше правой части $0.\overline{108}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 15.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 33$ Истина

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Ложь

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Истина

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 33$ Истина

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Ложь

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Истина

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 33$ или $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ или $x > 2$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Этап 18