Конечная математика Примеры

$x - 2 \sqrt{5 x} = 15$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sqrt{5 x} = 15 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

${(- 2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим правило умножения к $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим правило умножения к $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.5

Найдем экспоненту.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $4$ на $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$20 x^{1} = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.8

Упростим.

$20 x = {(15 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(15 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(15 - x)}^{2}$ в виде $(15 - x) (15 - x)$ .

$20 x = (15 - x) (15 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(15 - x) (15 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x = 15 (15 - x) - x (15 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x (15 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $15$ на $15$ .

$20 x = 225 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $15$ .

$20 x = 225 - 15 x - x \cdot 15 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $15$ на $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $15 x$ из $- 15 x$ .

$20 x = 225 - 30 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$225 - 30 x + x^{2} = 20 x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$225 - 30 x + x^{2} - 20 x = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $20 x$ из $- 30 x$ .

$225 + x^{2} - 50 x = 0$

Этап 4.3

Разложим $225 + x^{2} - 50 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $225$ , а сумма — $- 50$ .

$- 45, - 5$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 45) (x - 5) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 45 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 45$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 45$ к $0$ .

$x - 45 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $45$ к обеим частям уравнения.

$x = 45$

Этап 4.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 45) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 45, 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x - 2 \sqrt{5 x} = 15$ истинным.

$x = 45$