Конечная математика Примеры

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

Этап 1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - x = 6$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 4.2

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ истинным.

$x = 3$