Конечная математика Примеры

$\log (x) = \frac{1}{3} \cdot \log (a) + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{1}{2} \cdot \log (a - b)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\log (a)$ .

$\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{1}{2} \log (a - b)$

Этап 1.1.2

Объединим $\log (a - b)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$

Этап 2

Каждый член в $\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log (x) = \frac{\log (a)}{3} + 4 \log (b) - 2 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2}$ на $6$ .

$\log (x) \cdot 6 = \frac{\log (a)}{3} \cdot 6 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $6$ влево от $\log (x)$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot 6 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot (3 (2)) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \log (x) = \frac{\log (a)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \log (x) = \log (a) \cdot 2 + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $\log (a)$ .

$6 \log (x) = 2 \cdot \log (a) + 4 \log (b) \cdot 6 - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.3

Умножим $6$ на $4$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 2 \log (c) \cdot 6 - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.4

Умножим $6$ на $- 2$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - \frac{\log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\log (a - b)}{2}$ в числитель.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot 6$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot (2 (3))$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) + \frac{- \log (a - b)}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - \log (a - b) \cdot 3$

Этап 2.3.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 \log (x) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $6 \log (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = 2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $2 \log (a) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $2 \log (a)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + 24 \log (b) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Этап 4.1.1.2

Упростим $24 \log (b)$ путем переноса $24$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - 12 \log (c) - 3 \log (a - b)$

Этап 4.1.1.3

Упростим $- 12 \log (c)$ путем переноса $12$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - \log (c^{12}) - 3 \log (a - b)$

Этап 4.1.1.4

Упростим $- 3 \log (a - b)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log (x^{6}) = \log (a^{2}) + \log (b^{24}) - \log (c^{12}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Этап 4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{6}) = \log (a^{2} b^{24}) - \log (c^{12}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Этап 4.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}}) - \log ({(a - b)}^{3})$

Этап 4.1.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}}}{{(a - b)}^{3}})$

Этап 4.1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12}} \cdot \frac{1}{{(a - b)}^{3}})$

Этап 4.1.6

Объединим.

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24} \cdot 1}{c^{12} {(a - b)}^{3}})$

Этап 4.1.7

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}})$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{6} = \frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $\frac{a^{2} b^{24}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}$ в виде ${(\frac{b^{4}}{c^{2}})}^{6} \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем полную степень ${(b^{4})}^{6}$ из $a^{2} b^{24}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{c^{12} {(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем полную степень ${(c^{2})}^{6}$ из $c^{12} {(a - b)}^{3}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{{(c^{2})}^{6} {(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{{(b^{4})}^{6} a^{2}}{{(c^{2})}^{6} {(a - b)}^{3}}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{{(\frac{b^{4}}{c^{2}})}^{6} \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{b^{4}}{c^{2}} \sqrt[6]{\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.3

Перепишем $\sqrt[6]{\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{3}}}$ в виде $\frac{\sqrt[6]{a^{2}}}{\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4}}{c^{2}} \cdot \frac{\sqrt[6]{a^{2}}}{\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.4

Объединим.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2}}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Перепишем $\sqrt[6]{a^{2}}$ в виде $\sqrt[3]{\sqrt{a^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{\sqrt{a^{2}}}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}}$

Этап 6.2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Перепишем $\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}$ в виде $\sqrt{\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}}}}$

Этап 6.2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$

Этап 6.2.7

Умножим $\frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$ на $\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}} \cdot \frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$

Этап 6.2.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Умножим $\frac{b^{4} \sqrt[3]{a}}{c^{2} \sqrt{a - b}}$ на $\frac{\sqrt{a - b}}{\sqrt{a - b}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} \sqrt{a - b} \sqrt{a - b}}$

Этап 6.2.8.2

Перенесем $\sqrt{a - b}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} (\sqrt{a - b} \sqrt{a - b})}$

Этап 6.2.8.3

Возведем $\sqrt{a - b}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} ({\sqrt{a - b}}^{1} \sqrt{a - b})}$

Этап 6.2.8.4

Возведем $\sqrt{a - b}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} ({\sqrt{a - b}}^{1} {\sqrt{a - b}}^{1})}$

Этап 6.2.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {\sqrt{a - b}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {\sqrt{a - b}}^{2}}$

Этап 6.2.8.7

Перепишем ${\sqrt{a - b}}^{2}$ в виде $a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a - b}$ в виде ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {({(a - b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.8.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.8.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.8.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.8.7.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} {(a - b)}^{1}}$

Этап 6.2.8.7.5

Упростим.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[3]{a} \sqrt{a - b}}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a - b}$ в виде ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} ({(a - b)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9.1.2

Перепишем ${(a - b)}^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(a - b)}^{\frac{3}{6}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} ({(a - b)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9.1.3

Перепишем ${(a - b)}^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} \sqrt[3]{a})}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{a}$ в виде $a^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} a^{\frac{1}{3}})}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9.1.5

Перепишем $a^{\frac{1}{3}}$ в виде $a^{\frac{2}{6}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} a^{\frac{2}{6}})}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9.1.6

Перепишем $a^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{a^{2}}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} (\sqrt[6]{{(a - b)}^{3}} \sqrt[6]{a^{2}})}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.9.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3} a^{2}}}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.2.10

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{{(a - b)}^{3} a^{2}}}{c^{2} (a - b)}$ .

$x = \pm \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$

$x = - \frac{b^{4} \sqrt[6]{a^{2} {(a - b)}^{3}}}{c^{2} (a - b)}$