Конечная математика Примеры

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

Этап 1.2

Развернем $(x - 2) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Этап 1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

Этап 1.3.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

Этап 1.3.2

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

Этап 2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

Этап 3

Перепишем $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

Этап 4.2

Вычтем $e^{8}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = - 2 - e^{8}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.4

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.1.6

Добавим $9$ и $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ истинным.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 39.37695294 \dots$