Конечная математика Примеры

$x - \frac{3 x}{x - 3} = 9 - \frac{9}{x - 3}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x - 3, 1, x - 3$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

НОК $x - 3, x - 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 3$

Этап 2

Каждый член в $x - \frac{3 x}{x - 3} = 9 - \frac{9}{x - 3}$ умножим на $x - 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $x - \frac{3 x}{x - 3} = 9 - \frac{9}{x - 3}$ на $x - 3$ .

$x (x - 3) - \frac{3 x}{x - 3} (x - 3) = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - \frac{3 x}{x - 3} (x - 3) = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - \frac{3 x}{x - 3} (x - 3) = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - \frac{3 x}{x - 3} (x - 3) = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{x - 3}$ в числитель.

$x^{2} - 3 x + \frac{- 3 x}{x - 3} (x - 3) = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 3 x + \frac{- 3 x}{x - 3} (x - 3) = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 3 x - 3 x = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x = 9 (x - 3) - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 6 x = 9 x + 9 \cdot - 3 - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $9$ на $- 3$ .

$x^{2} - 6 x = 9 x - 27 - \frac{9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9}{x - 3}$ в числитель.

$x^{2} - 6 x = 9 x - 27 + \frac{- 9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 6 x = 9 x - 27 + \frac{- 9}{x - 3} (x - 3)$

Этап 2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 6 x = 9 x - 27 - 9$

Этап 2.3.2

Вычтем $9$ из $- 27$ .

$x^{2} - 6 x = 9 x - 36$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x - 9 x = - 36$

Этап 3.1.2

Вычтем $9 x$ из $- 6 x$ .

$x^{2} - 15 x = - 36$

Этап 3.2

Добавим $36$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 15 x + 36 = 0$

Этап 3.3

Разложим $x^{2} - 15 x + 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $36$ , а сумма — $- 15$ .

$- 12, - 3$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 12) (x - 3) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 12) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 12, 3$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $x - \frac{3 x}{x - 3} = 9 - \frac{9}{x - 3}$ истинным.

$x = 12$