Конечная математика Примеры

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $5 \log_{2} (x)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Этап 2.1.3

Сократим выражение $\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Этап 2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Этап 2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Этап 2.1.4

Перепишем $\frac{x^{2}}{2}$ в виде $x^{2} \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Этап 2.1.5

Перепишем $\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ в виде $\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Этап 2.1.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Этап 2.1.7

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Этап 2.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Этап 3.2

Добавим $5$ и $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Этап 4

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = 2$ , $x = x^{2}$ и $y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Этап 4.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$2^{6} = x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = 2^{6}$ .

$x^{2} = 2^{6}$

Этап 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt{2^{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Этап 5.3.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 5.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ истинным.

$x = 8$