Конечная математика Примеры

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Этап 1

Запишем $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ в виде уравнения.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Этап 3.2

Разделим каждый член $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ на $20000$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ на $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $20000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим ${1.02}^{y}$ на $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Этап 3.4

Развернем $\ln ({1.02}^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Этап 3.5

Разделим каждый член $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ на $\ln (1.02)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ на $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (1.02)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Этап 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Этап 5

Проверим, является ли $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ обратной к $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $P^{- 1} (P (t)) = t$ и $P (P^{- 1} (t)) = t$ .

Этап 5.2

Найдем значение $P^{- 1} (P (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$P^{- 1} (P (t))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ , подставив значение $P$ в $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $20000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Этап 5.2.3.2

Разделим ${(1.02)}^{t}$ на $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Этап 5.2.4

Развернем $\ln ({(1.02)}^{t})$ , вынося $t$ из логарифма.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $\ln (1.02)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $t$ на $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Этап 5.3

Найдем значение $P (P^{- 1} (t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$P (P^{- 1} (t))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ , подставив значение $P^{- 1}$ в $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Этап 5.3.3

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Этап 5.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $20000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Этап 5.4

Так как $P^{- 1} (P (t)) = t$ и $P (P^{- 1} (t)) = t$ , то $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ — обратная к $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$