Конечная математика Примеры

$8 y^{3} - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$8 y^{3} = 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $8 y^{3}$ в виде ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2 y$ и $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Этап 3.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $2 y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 y - 1$ к $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 y - 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 y = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 6

Приравняем $4 y^{2} + 2 y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $4 y^{2} + 2 y + 1$ к $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ верно.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$