Конечная математика Примеры

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ , вынося $y - 1$ из логарифма.

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (\frac{1}{x})$ в виде $\ln (1) - \ln (x)$ .

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 3.4

Вычтем $\ln (x)$ из $0$ .

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $(y - 1) (- \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1 (- \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Этап 6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Этап 7.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Этап 7.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Этап 7.2.2

Добавим $1$ и $4$ .

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Этап 8

Вычтем $\ln (x^{5})$ из обеих частей уравнения.

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Этап 9

Разделим каждый член $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ на $- \ln (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ на $- \ln (x)$ .

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Этап 9.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$