Конечная математика Примеры

$\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15} = 2 y$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15}}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15}$ в виде ${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{1} = {(2 y)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$5 y^{2} - 8 y + 15 = {(2 y)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(2 y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 y$ .

$5 y^{2} - 8 y + 15 = 2^{2} y^{2}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$5 y^{2} - 8 y + 15 = 4 y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$5 y^{2} - 8 y + 15 - 4 y^{2} = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $4 y^{2}$ из $5 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 15 = 0$

Этап 3.2

Разложим $y^{2} - 8 y + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 5) (y - 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 5 = 0$

$y - 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 3.5

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 5) (y - 3) = 0$ верно.

$y = 5, 3$