Конечная математика Примеры

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{4 y + 20}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $v y$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

Этап 1.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

Этап 1.3

Добавим $6$ и $4$ .

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y + 20}$ в виде ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(v y + 10)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(v y + 10)}^{2}$ в виде $(v y + 10) (v y + 10)$ .

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(v y + 10) (v y + 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1.1

Перенесем $v$ .

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Этап 3.3.1.3.1.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Этап 3.3.1.3.1.3

Перенесем $10$ влево от $v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $10$ на $10$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $10 v y$ и $10 v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

Этап 4.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

Этап 4.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $20$ из $100$ .

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = v^{2}$ , $b = 20 v - 4$ и $c = 80$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.2

Умножим $20$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5

Пусть $u = v^{2} \cdot 80$ . Подставим $u$ вместо $v^{2} \cdot 80$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.1

Перепишем ${(20 v - 4)}^{2}$ в виде $(20 v - 4) (20 v - 4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.2

Развернем $(20 v - 4) (20 v - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.1.2

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.5.3.1.2.1

Перенесем $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.1.2.2

Умножим $v$ на $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.1.3

Умножим $20$ на $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.1.4

Умножим $- 4$ на $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.1.5

Умножим $20$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.5.3.2

Вычтем $80 v$ из $- 80 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6

Вынесем множитель $4$ из $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

Вынесем множитель $4$ из $400 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 160 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6.3

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.7

Заменим все вхождения $u$ на $v^{2} \cdot 80$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.8.1.1

Перенесем $80$ влево от $v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.8.1.2

Умножим $80$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.8.2

Вычтем $80 v^{2}$ из $100 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.9

Вынесем множитель $4$ из $20 v^{2} - 40 v + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.9.1

Вынесем множитель $4$ из $20 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.9.2

Вынесем множитель $4$ из $- 40 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.9.3

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.9.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.9.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.10

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.11

Перепишем $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ в виде ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.11.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Этап 4.6.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$