Конечная математика Примеры

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $6$ и $7$ .

$\sqrt{2 y} + 13 = y + 6$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $\sqrt{2 y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 y} = y + 6 - 13$

Этап 1.2.2

Вычтем $13$ из $6$ .

$\sqrt{2 y} = y - 7$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 y}}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 y}$ в виде ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y)}^{1} = {(y - 7)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$2 y = {(y - 7)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(y - 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(y - 7)}^{2}$ в виде $(y - 7) (y - 7)$ .

$2 y = (y - 7) (y - 7)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(y - 7) (y - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y = y (y - 7) - 7 (y - 7)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y = y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $- 7$ влево от $y$ .

$2 y = y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$2 y = y^{2} - 7 y - 7 y + 49$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $7 y$ из $- 7 y$ .

$2 y = y^{2} - 14 y + 49$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y^{2} - 14 y + 49 = 2 y$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 14 y + 49 - 2 y = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 y$ из $- 14 y$ .

$y^{2} - 16 y + 49 = 0$

Этап 4.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 16$ и $c = 49$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $49$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 196}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем $196$ из $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.5.3

Упростим $\frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{15}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 8 + \sqrt{15}, 8 - \sqrt{15}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$ истинным.

$y = 8 + \sqrt{15}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = 8 + \sqrt{15}$

Десятичная форма:

$y = 11.87298334 \dots$