Конечная математика Примеры

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $y + 2$ является само значение $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $y - 4$ является само значение $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $y + 6$ является само значение $y + 6$ .

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $y + 2, y - 4, y + 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ умножим на $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ на $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $y + 2$ из $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(y - 4) (y + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Умножим $- 4$ на $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.3.2

Вычтем $4 y$ из $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $4$ на $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{y - 4}$ в числитель.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.6.2

Вынесем множитель $y - 4$ из $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.7

Развернем $(y + 2) (y + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.8.1.2

Перенесем $6$ влево от $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.8.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.8.2

Добавим $6 y$ и $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Умножим $8$ на $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.1.10.2

Умножим $- 2$ на $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $2 y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $16 y$ из $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $24$ из $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $y + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $y + 6$ из $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Этап 2.3.2

Развернем $(y + 2) (y - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Этап 2.3.3.2

Добавим $- 4 y$ и $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 2$ на $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Этап 2.3.5.2

Умножим $6$ на $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $6 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Этап 3.1.2

Добавим $12 y$ к обеим частям уравнения.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Этап 3.1.3

Вычтем $6 y^{2}$ из $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Этап 3.1.4

Добавим $- 8 y$ и $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Этап 3.2

Добавим $48$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Этап 3.3

Добавим $- 120$ и $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $- 4$ из $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y^{2} - y + 18$ на $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим $0$ на $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Этап 3.6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.7

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = 18$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $72$ из $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $- 71$ в виде $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (71)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$