Конечная математика Примеры

$\frac{4}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $y^{2} - 7 y + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $8$ из $8 y - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8 y$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y) - 16}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y + 8 \cdot - 2}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $8$ из $8 y + 8 \cdot - 2$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(y - 5) (y - 2), y - 5, 8 (y - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Простыми множителями $8$ являются $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

У $8$ есть множители: $2$ и $4$ .

$2 \cdot 4$

Этап 2.4.2

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Этап 2.5

Умножим $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 2$

Этап 2.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8$

Этап 2.6

Множителем $y - 5$ является само значение $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $y - 5$ является само значение $y - 5$ .

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $y - 5, y - 2, y - 5, y - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 5) (y - 2)$

Этап 2.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$8 (y - 5) (y - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ умножим на $8 (y - 5) (y - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ на $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.2

Умножим $8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $8$ и $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $8$ на $4$ .

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $(y - 5) (y - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$32 - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 5}$ в числитель.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $y - 5$ из $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$32 - (8 (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$32 - 8 (y - 2) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$32 - 8 y - 8 \cdot - 2 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$32 - 8 y + 16 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.2.2

Добавим $32$ и $16$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 5) (y - 2))$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y - 5) (y - 2)$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$- 8 y + 48 = y - 5$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- 8 y + 48 - y = - 5$

Этап 4.1.2

Вычтем $y$ из $- 8 y$ .

$- 9 y + 48 = - 5$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $48$ из обеих частей уравнения.

$- 9 y = - 5 - 48$

Этап 4.2.2

Вычтем $48$ из $- 5$ .

$- 9 y = - 53$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 9 y = - 53$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 9 y = - 53$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 53}{- 9}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{53}{9}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{53}{9}$

Десятичная форма:

$y = 5.\overline{8}$

Форма смешанных чисел:

$y = 5 \frac{8}{9}$