Конечная математика Примеры

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

Этап 1

Найдем общий множитель $y^{\frac{2}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $y^{\frac{2}{5}}$ .

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{6}$ .

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $u$ из $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

Этап 3.1.1.3

Вынесем множитель $u$ из $35 u$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Этап 3.1.1.4

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Этап 3.1.1.5

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Этап 3.1.2

Перепишем $u^{5}$ в виде ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Этап 3.1.3

Пусть $u = u^{\frac{5}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $u^{\frac{5}{2}}$ для всех.

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Этап 3.1.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Этап 3.1.4.1.2

Запишем $- 17$ как $- 7$ плюс $- 10$

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

Этап 3.1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

Этап 3.1.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

Этап 3.1.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

Этап 3.1.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 7$ .

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

Этап 3.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Заменим все вхождения $u$ на $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

Этап 3.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 3.4

Приравняем $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ к $0$ .

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

Этап 3.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 u^{\frac{5}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Упростим.

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.3.1.4

Изменим порядок множителей в $2^{\frac{2}{5}} u$ .

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4.2.4

Разделим каждый член $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ на $2^{\frac{2}{5}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Разделим каждый член $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ на $2^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 3.4.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 3.4.2.4.2.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 3.5

Приравняем $u^{\frac{5}{2}} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u^{\frac{5}{2}} - 5$ к $0$ .

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

Этап 3.5.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Упростим.

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ верно.

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 4

Подставим $y$ вместо $u$ .

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Этап 5

Решим относительно $y^{\frac{2}{5}} = 0$ для $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm 0^{5}$

Этап 5.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \pm 0$

Этап 5.2.2.1.4

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 6

Решим относительно $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ для $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим.

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ .

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2.2

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 6.2.2.1.3.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 6.2.2.1.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{7}{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{7}{2}$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

Этап 7

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$y = 5$

Этап 8

Перечислим все решения.

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ истинным.

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Десятичная форма:

$y = 0, 3.5, 5$

Форма смешанных чисел:

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$